1、“.....点为中点，点在线段上当∶∶时，求证⊥是否存在点，使二面角等于，若存在求长若不存在，请说明理由规范解答证明连结，因为为正三棱柱，所以为正三角形，又因为为中点，所以⊥，分又平面⊥平面，所以⊥平面，所以⊥分因为∶∶，所以所以在中，，在中，，所以，即⊥，所以⊥平面，⊂面，所以⊥分假设存在点满足条件，设取中点，连结，则⊥平面，所以⊥，⊥，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，分所以设平面个法向量为，则令，得法向量，，，得取⊥，四边形是矩形法如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则设平面∩平面，，，同理，，，四边形是平行四边形又⊥，⊥，⊥平面，⊥求直线与平面夹角正弦值解证明由该四面体三视图可知，⊥，⊥，⊥由题设，平面，平面∩平面，平面其余角就是斜线和平面所成角对点训练陕西高考四面体及其三视图如图所示，过棱中点作平行于，平面分别交四面体棱于点图证明四边形是矩形......”。

2、“.....转化为求两个方向向量夹角或其补角二是通过平面法向量来求，即求出斜线方向向量与平面法向量所夹锐角或钝角补角，取解得，所以点坐标为所以规律方法利用向量法求异面直线所成角时，注意向量夹角与异面直线所成角异同同时注意根据异面直线所成角范围棱上，所以可设，即，所以因为是平面个法向量，所以，即设直线与平面所成角为，则，因此直线与平面所成角大小为设点坐标为因为点在设平面个法向量为，则即，令，则，所以⊄平面，所以平面，因为⊂平面，且平面∩平面，所以因为⊥底面，所以⊥，⊥如图建立空间直角坐标系，则,求证若⊥底面，且，求直线与平面所成角大小，并求线段长图尝试解答证明在正方形中，因为是中点，所以又因为面考向二利用空间向量求线线角和线面角北京高考如图，正方形边长为分别为，中点，在五棱锥中，为棱中点，平面与棱，分别交于点，则⊥，⊥⊥，即⊥又∩，⊥平点为，则，又，又在平面内......”。

3、“.....令，则取中线方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明对点训练如图所示，已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，分别为，线方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明对点训练如图所示，已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，分别为中点求证平面⊥平面图证明如图建立空间直角坐标系，令，则取中点为，则，又，又在平面内，故平面则⊥，⊥⊥，即⊥又∩，⊥平面考向二利用空间向量求线线角和线面角北京高考如图，正方形边长为分别为，中点，在五棱锥中，为棱中点，平面与棱，分别交于点，求证若⊥底面，且，求直线与平面所成角大小，并求线段长图尝试解答证明在正方形中，因为是中点，所以又因为⊄平面，所以平面，因为⊂平面，且平面∩平面，所以因为⊥底面，所以⊥，⊥如图建立空间直角坐标系，则,设平面个法向量为，则即，令，则，所以设直线与平面所成角为，则......”。

4、“.....所以可设，即，所以因为是平面个法向量，所以，即解得，所以点坐标为所以规律方法利用向量法求异面直线所成角时，注意向量夹角与异面直线所成角异同同时注意根据异面直线所成角范围，得出结论利用向量法求线面角方法是分别求出斜线和它在平面内射影直线方向向量，转化为求两个方向向量夹角或其补角二是通过平面法向量来求，即求出斜线方向向量与平面法向量所夹锐角或钝角补角，取其余角就是斜线和平面所成角对点训练陕西高考四面体及其三视图如图所示，过棱中点作平行于，平面分别交四面体棱于点图证明四边形是矩形求直线与平面夹角正弦值解证明由该四面体三视图可知，⊥，⊥，⊥由题设，平面，平面∩平面，平面∩平面，，，同理，，，四边形是平行四边形又⊥，⊥，⊥平面，⊥，⊥，四边形是矩形法如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则设平面法向量，，，得取法二如图......”。

5、“.....则,是中点分别为，中点，得设平面法向量，则得取考向三利用空间向量求二面角课标全国卷Ⅰ如图，三棱柱中，侧面为菱形，⊥证明若⊥，求二面角余弦值图尝试解答证明连结，交于点，连结因为侧面为菱形，所以⊥，且为及中点又⊥，∩，所以⊥平面由于⊂平面，故⊥又，故因为⊥，且为中点，所以又因为，所以≌，故⊥，从而两两互相垂直以为坐标原点，方向为轴轴轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角坐标系因为，所以为等边三角形又则，，，，设是平面法向量，则即，所以可取设是平面法向量，则，同理可取则，所以二面角余弦值为规律方法利用空间向量求二面角可以有两种方法是分别在二面角两个半平面内找到个与棱垂直且从垂足出发两个向量，则这两个向量夹为中点，所以又因为，所以≌，故⊥，从而两两互相垂直以为坐标原点，方向为轴轴轴正方向，为单位长......”。

6、“.....所以为等边三角形又则，，，，设是平面法向量，则即，所以可取设是平面法向量，则，同理可取则，所以二面角余弦值为规律方法利用空间向量求二面角可以有两种方法是分别在二面角两个半平面内找到个与棱垂直且从垂足出发两个向量，则这两个向量夹角大小就是二面角平面角大小二是通过平面法向量来求设二面角两个半平面法向量分别为和，则二面角大小等于，或，利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角对点训练课标全国卷Ⅱ如图，直三棱柱中分别是，中点，证明平面求二面角正弦值图解证明连接，交于点，则为中点又是中点，连接，则因为⊂平面，⊄平面，所以平面由，得⊥以为坐标原点，方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系设，则,设是平面法向量，则即，可取同理，设是平面法向量，则可取从而故......”。

7、“.....点为中点，点在线段上当∶∶时，求证⊥是否存在点，使二面角等于，若存在求长若不存在，请说明理由规范解答证明连结，因为为正三棱柱，所以为正三角形，又因为为中点，所以⊥，分又平面⊥平面，所以⊥平面，所以⊥分因为∶∶，所以所以在中，，在中，，所以，即⊥，所以⊥平面，⊂面，所以⊥分假设存在点满足条件，设取中点，连结，则⊥平面，所以⊥，⊥，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，分所以设平面个法向量为，则令，得，同理，平面个法向量为，则，令，得分，解得，故存在点，当时，二面角等于分名师寄语对于存在性问题，般先假设存在，若能求出符合条件解，则存在，若不能求出符合条件解，则不存在利用空间向量方法解立体几何中开放性问题，可以化繁为简，化难为易，降低了思维难度个规范练湖北高考如图，在棱长为正方体中分别是棱，中点，点，分别在棱，上移动，且当时，证明直线平面是否存在......”。

8、“.....求出值若不存在，说明理由解证明如图，连结，由是正方体，知当时，是中点，又是中点，所以所以而⊂平面，且⊄平面，故直线平面以为原点，射线分别为轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系由已知得设平面个法向量为，则由可得，于是可取同理可得平面个法向量为若存在，使面与面所成二面角为直二面角，则，即，解得故存在，使面与面所成二面角为直二面角第七节立体几何中向量方法考情展望考查利用空间向量判断证明空间中线面位置关系考查利用向量求空间角大小以解答题为主要考查形式直线方向向量和平面法向量直线方向向量如果表示非零向量有向线段所在直线与直线或，则称此向量为直线方向向量平面法向量直线⊥，取直线方向向量，则向量叫做平面法向量平行重合空间位置关系向量表示位置关系向量表示⇔直线，方向向量分别为，⊥⊥⇔⊥⇔直线方向向量为，平面法向量为⊥⇔⇔平面，法向量分别为，⊥⊥⇔二利用空间向量求空间角求两条异面直线所成角设，分别是两异面直线，方向向量，则与所成角与夹角，范围......”。

9、“.....平面法向量为，直线与平面所成角为，则求二面角大小若分别是二面角两个面内与棱垂直异面直线，则二面角大小就是夹角如图图向量与设，分别是二面角两个面，法向量，则向量与夹角或其补角大小就是如图二面角平面角大小利用空间向量求点面距离如图，已知为平面条斜线段，为平面法向量，则到平面距离为设,分别是平面，法向量若⊥，则答案已知向量，分别是直线和平面方向向量法向量，若则与所成角为答案若直线方向向量为，平面法向量为，能使是答案已知两平面法向量分别为则两平面所成二面角为或答案如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱则直线与直线夹角余弦值为图答案大纲全国卷已知正四棱柱中则与平面所成角正弦值等于答案考向利用空间向量证明平行垂直如图所示，在四棱锥中，⊥平面在四边形中，，点在上与平面成角求证平面求证平面⊥平面图尝试解答以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系⊥平面，为与平面所成角，，......”。