1、“.....的中点，则异面直线与所成的角等于答案的个法向量设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为如图，在四棱锥即，或如图所示，平行六面体，且用表即取得平面，与的夹角的余弦值为，值若向量与互相垂直，求的值解析三解答题本大题共小题，共分，前题每题分，题分，题分已知空间三点，设，求和的夹角的余弦，又设，则，，令，则，又成角的余弦值为已知，则原点到平面的距离为答案解析设过与平面垂直的向量为，则轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为，则所以所以，与所，如图，在正方体中，是上底面的中心，则与所成角的余弦值为答案解析以为坐标原点，以分别为角的大小是答案解析......”。

2、“.....此时点的坐标为已知空间三点，则与的夹的夹角为已知是轴上的动点，当取最小值时，点的坐标为答案解析设，则故选二填空题本大题共小题，每小题分，共分已知向量则与的夹角为答案解析，⊥，与可取个法向量，有，故选简解设相交于连，∥平面，∥，为的中点，又设平面的法向量，由，得故在上，且∥平面则点的坐标为答案解析在上，设，显然平面的个法向量，二面角大小为如下图，正方形与矩形所在平面互相垂直在，显然平面的个法向量，二面角大小为如下图，正方形与矩形所在平面互相垂直在上，且∥平面则点的坐标为答案解析在上......”。

3、“.....，设平面的法向量，由，得故可取个法向量，有，故选简解设相交于连，∥平面，∥，为的中点，又，故选二填空题本大题共小题，每小题分，共分已知向量则与的夹角为答案解析，⊥，与的夹角为已知是轴上的动点，当取最小值时，点的坐标为答案解析设，则，当时取最小值，此时点的坐标为已知空间三点，则与的夹角的大小是答案解析，如图，在正方体中，是上底面的中心，则与所成角的余弦值为答案解析以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为，则所以所以，与所成角的余弦值为已知，则原点到平面的距离为答案解析设过与平面垂直的向量为，则，又设，则，，令，则......”。

4、“.....三解答题本大题共小题，共分，前题每题分，题分，题分已知空间三点，设，求和的夹角的余弦值若向量与互相垂直，求的值解析与的夹角的余弦值为，即，或如图所示，平行六面体，且用表即取得平面的个法向量设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为如图，在四棱锥中，⊥平面，是的中点证明⊥平面若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积解析解法如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系设，则相关各点的坐标为，易知因为，所以⊥，⊥而，是平面内的两条相交直线，所以⊥平面由题设和知分别是平面，平面的法向量而与平面所成的角和与平面所成的角相等，所以，即由知，又......”。

5、“.....所以四棱锥的体积为天津理，如图，在四棱柱中，侧棱⊥底面，⊥且点和分别为和的中点Ⅰ求证∥平面Ⅱ求二面角的正弦值Ⅲ设为棱上的点若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长解析以为原点建立空间直角坐标系Ⅰ求出直线的方向向量与平面的法向量，两个向量的乘积等于即可Ⅱ求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可Ⅲ设，代入线面角公式计算可解出的值，即可求出的长解如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得又因为，分别为和的中点，得，Ⅰ依题意，可得为平面的个法向量，，由此可得，又因为直线⊄平面，所以∥平面Ⅱ设为平面的法向量，则，即不妨设，可得......”。

6、“.....则，又，得，不妨设，可得因此有于是所以二面角的正弦值为Ⅲ依题意，可设，其中∈则，从而，又为平面的个法向量，由已知得，，整理得，又因为∈解得，所以线段的长为第二章空间向量与立体几何检测题时间分钟，满分分。选择题本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的下列说法中不正确的是平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量个平面的所有法向量互相平行如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直如果与平面共面且⊥，⊥，那么就是平面的个法向量答案解析只有当不共线且∥，∥时，才正确已知，令则对应的点为答案解析故已知若∥......”。

7、“.....所以存在实数，使，即所以，所以或故选清华附中月考已知，是两异面直线∈∈，⊥，⊥且则直线，所成的角为答案解析由于⇒故选已知且∥则向量与的夹角是答案解析，⊥已知正方体的中心为，则下列各结论中不正确的是与是对相反向量与是对相反向量与是对相反向量与是对相反向量答案解析由图知与是对相等向量如图，在正方体中分别为，的中点，则异面直线与所成的角等于答案解析连接，如图，则，且∥，∥，所以异面直线与所成的角等于，选如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于，点分别是的中点，则下列向量的数量积等于的是答案解析正方形所在平面外点，⊥平面，若......”。

8、“.....设，则，设平面的法向量，由，得，，令，则，显然平面的个法向量，二面角大小为如下图，正方形与矩形所在平面互相垂直在上，且∥平面则点的坐标为答案解析在上，设，，设平面的法向量，由，得故可取个法向量，有，故选简解设相交于连，∥平面，∥，为的中点，又，故选二填空题本大题共小题，每小题分，共分已知向量则与的夹角为答案解析，⊥，与的，显然平面的个法向量，二面角大小为如下图，正方形与矩形所在平面互相垂直在上，且∥平面则点的坐标为答案解析在上，设，......”。

9、“.....由，得故可取个法向量，有，故选简解设相交于连，∥平面，∥，为的中点，又，故选二填空题本大题共小题，每小题分，共分已知向量则与的夹角为答案解析，⊥，与的夹角为已知是轴上的动点，当取最小值时，点的坐标为答案解析设，则，当时取最小值，此时点的坐标为已知空间三点，则与的夹角的大小是答案解析，如图，在正方体中，是上底面的中心，则与所成角的余弦值为答案解析以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为，则所以所以，与所成角的余弦值为已知，则原点到平面的距离为答案解析设过与平面垂直的向量为，则，又设，则，，令，则，又，三解答题本大题共小题，共分......”。