1、“.....那么称向量垂直于平面，记作⊥此时把叫做平面的法向量共线垂直于向量利用空间向量判断线与线线与面及面与面的位置关系设空间两条直线与的方向向量分别为两平面与的法向量分别为则有下表类别位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行⇔⇔⇔垂直⊥⇔⊥⇔⊥⇔⊥⊥⊥夯基释疑判断下列结论的正误正确的打，错误的打“”若直线与平面的法向量垂直，则直线与平面平行若两平面的法向量垂直，则两平面平行若则平面的单位法向量定是若直线的方向向量，的方向向量，则与的位置关系是垂直解析中的直线也可能在平面内，故错两平面垂直，故错中单位法向量不惟，故错答案教材习题改编已知，分别是两平行平面，的法向量⊥，⊥由知⊥，又∩，⊥平面，又⊂平面，平面⊥平面考向利⇒又，平面图解⊥平面，，如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系与平面所成角为，，中由练如图，四棱锥中，⊥平面，与平面所成的角为，在四边形中，，的中点为......”。

2、“.....只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线证明面面垂直证明两平面的法向量互相垂直利用面面垂直的判定定理，只要能证明个平面内的条直线的方向向量为另个平面的法向量变式训平面通关锦囊利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直证，得令，则，显然，，⊥平面，即⊥，⊥，又∩，⊥平面法二设平面的个法向量为，，⊥，即⊥法，，又，⊥，即⊥三角形，，设，由⊥得，得，则，，又路点拨根据⊥底面，⊥，应建立以为坐标原点的空间直角坐标系解建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，为正垂直证明面面垂直典例如图所示，在四棱锥中，⊥底面，⊥，⊥，是中点，证明⊥⊥平面图思，所以⊥......”。

3、“.....主要命题角度证明线线垂直证明线面设平面的法向量为，则，所以取，则⊥，所以⊥如图，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，所以证明直线平面证明因为是棱的中点，所以，为正三角形因为为等腰梯形，所以，取的中点，连结，则也可证直线的方向向量与平面的个法向量垂直变式训练如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，分别是棱的中点图证也可证直线的方向向量与平面的个法向量垂直变式训练如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，分别是棱的中点图证明直线平面证明因为是棱的中点，所以，为正三角形因为为等腰梯形，所以，取的中点，连结，则⊥，所以⊥如图，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，所以设平面的法向量为，则，所以取，则，所以⊥......”。

4、“.....主要命题角度证明线线垂直证明线面垂直证明面面垂直典例如图所示，在四棱锥中，⊥底面，⊥，⊥，是中点，证明⊥⊥平面图思路点拨根据⊥底面，⊥，应建立以为坐标原点的空间直角坐标系解建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，为正三角形，，设，由⊥得，得，则，，又，⊥，即⊥法，，又，⊥，即⊥，⊥，又∩，⊥平面法二设平面的个法向量为，，得令，则，显然，，⊥平面，即⊥平面通关锦囊利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直证明直线与平面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线证明面面垂直证明两平面的法向量互相垂直利用面面垂直的判定定理......”。

5、“.....四棱锥中，⊥平面，与平面所成的角为，在四边形中，，的中点为，求证⊥平面⊥平面图解⊥平面，，如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系与平面所成角为，，中由⇒又，⊥，⊥由知⊥，又∩，⊥平面，又⊂平面，平面⊥平面考向利用空间向量解决探索性问题典例在正方体中分别是，的中点图证明平面⊥平面在上是否存在点使⊥平面解建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，则，设平面的法向量，平面的法向量为，则，即，即，令，得，同理可得平面的法向量，平面⊥平面由于点在直线上，设，可得要使⊥平面，需有⊥得，故当时，⊥平面，即，是平面的法向量，又，平面，⊥，得把代入得，是的中点，即存在点使平面，此时为的中点具备种思想用向量法解决立体几何问题，即把复杂的推理证明辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想心存种思路选好基底，用向量表示出几何量......”。

6、“.....进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题牢记点提醒利用向量判断空间位置关系，仍然要重视几何性质和定理的应用，如用直线的方向向量与平面的法向量证明线面平行，仍要强调直线在平面外等思想方法之空间向量研究空间位置关系中的转化思想陕西高考如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，⊥平面，图证明⊥平面求平面与平面的夹角的大小证明法由题设易知两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系由，易得，⊥，⊥，又∩，⊥平面法二⊥平面，⊥又四边形是正方形，⊥，⊥平面，⊥又是的中垂线且是直角三角形，⊥又，⊥，又∩，⊥平面设平面的法向量，，取，由知，是平面的法向量又，智慧心语易错提示证明⊥平面时，推理不严谨，忽视定理成立的条件，论证不完备导致会而不解不得满分忽视二面角两平面夹角与法向量夹角的区别，错求防范措施抓住垂直关系，恰当建立空间直角坐标系，将空间位置，数量关系坐标化......”。

7、“.....判断法向量的夹角与二面角的大小关系般有两种方法观察法借助几何体观察二面角是锐角还是钝角是判断法向量的方向，同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补，个指向内另个指向外则向量夹角与二面角相等类题通关北京高考如图，在三棱柱中，是边长为的正方形平面⊥平面图求证⊥平面求二面角的余弦值证明在线段上存在点，使得⊥，并求的值解证明因为为正方形，所以⊥因为平面⊥平面，且垂直于这两个平面的交线，所以⊥平面由知⊥，⊥由题知，所以⊥如图，以为原点建立空间直角坐标系，则,设平面的法向量为则，即，令，则所以同理可得，平面的个法向量为所以由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为证明设是线段上点，且所以解得所以由，即，解得因为所以在线段上存在点，使得⊥此时......”。

8、“.....那么称向量垂直于平面，记作⊥此时把叫做平面的法向量共线垂直于向量利用空间向量判断线与线线与面及面与面的位置关系设空间两条直线与的方向向量分别为两平面与的法向量分别为则有下表类别位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行⇔⇔⇔垂直⊥⇔⊥⇔⊥⇔⊥⊥⊥夯基释疑判断下列结论的正误正确的打，错误的打“”若直线与平面的法向量垂直，则直线与平面平行若两平面的法向量垂直，则两平面平行若则平面的单位法向量定是若直线的方向向量，的方向向量，则与的位置关系是垂直解析中的直线也可能在平面内，故错两平面垂直，故错中单位法向量不惟，故错答案教材习题改编已知，分别是两平行平面，的法向量，则解析由题意，与共线，，得答案已知，是两个不重合的平面，向量，分别是两平面的法向量......”。

9、“.....则若，则⊥若，则⊥若，则其中正确的是填序号解析若两平面法向量共线，则两平面平行若两平面法向量垂直，则两平面垂直，故正确答案已知，若，则与的夹角为解析，且答案青岛调研如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是图解析设正方体的棱长为，则，且则，⊥答案⊥考向利用空间向量证明平行问题典例如图，分别是正四棱柱的上下底面的中心，是的中点，图证明以为原点，直线所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则得，求证平面设得，，解得，∩，⊄平面，平面规律方法恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标......”。