1、“.....由于，数列是递减数列分必要性若是递减数列，则，且又，故是递减数列的充要条件是分若，要证是递增数列即，也就是证明分下面用数学归纳法证明当，即是递增数列分构建答题模板第步利用充要条件的意义，判定递减⇔⇓第二步运用分析法，将结论转化为判定⇓第三步验证时，结论成立⇓第四步假设当时证明当时智慧心语易错提示第问只判定充分性或必要性，证明不完整难以将第的结论转化为判定或在证明时，不能运用函数的单调性，导致归纳假设运用受阻防范措施正确理解充要条件的意义充要条件必须从充分性和必要性两个方面判定善于转化，从函数的角度理解与的关系，抓住与的单调性，利用归纳假设时，由，即可知，从而故当时，不等式，并且由此可得，在，上单调递增，因而，当时当合可得，对切正整数，不等式均成立再由可得，法二设则由得因此，即所以当时，不等式也成立综时，由题设知成立假设当......”。

2、“.....不等式成立由易知，则当时所以当时，原不等式也成立综合可得，当，时，对切整数，不等式均成立法先用数学归纳法证明当，原不等式成立假设当，时，不等式成立则当时，证明当且时数列满足，证明解用数学归纳法证明当时，时结论仍然成立由可知„，考向用数学归纳法证明不等式典例安徽高考设实数，整数，，„，当明当时，左边，右边，左边右边，等式成立假设，时，结论成立，即„，那么，当时假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法变式训练设„求证„，证学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少由时命题成立，推出时等式成立，要找出等式两边的变化差异，明确变形目标二要充分利用归纳都成立令，可得所以规律方法用数，所以因此当时，等式也成立综合可知等式对所有的......”。

3、“.....由上可知等式成立假设当时等式成立，即因为对所有的都成立当时，由上可知等式成立假设当时等式成立，即因为，，所以因此当时，等式也成立综合可知等式对所有的都成立令，可得所以规律方法用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少由时命题成立，推出时等式成立，要找出等式两边的变化差异，明确变形目标二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法变式训练设„求证„，证明当时，左边，右边，左边右边，等式成立假设，时，结论成立，即„，那么，当时......”。

4、“.....当时结论仍然成立由可知„，考向用数学归纳法证明不等式典例安徽高考设实数，整数，证明当且时数列满足，证明解用数学归纳法证明当时，原不等式成立假设当，时，不等式成立则当时所以当时，原不等式也成立综合可得，当，时，对切整数，不等式均成立法先用数学归纳法证明当时，由题设知成立假设当，时，不等式成立由易知，则当时，由得因此，即所以当时，不等式也成立综合可得，对切正整数，不等式均成立再由可得，法二设则，并且由此可得，在，上单调递增，因而，当时当时，由，即可知，从而故当时，不等式成立假设当，时，不等式成立，则当时即有所以当时，原不等式也成立综合可得，对切正整数，不等式均成立规律方法当遇到与正整数有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法用数学归纳法证明不等式的关键是由时命题成立证时命题也成立......”。

5、“.....时结论成立由可知，以上猜想成立通关锦囊“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性变式训练南京盐城调研设是定义在上的增函数且满足任意，任意，，有求的值求的表达式解，是单调增函数又，首先证明，时，命题成立假设时命题成立，即则，即时，命题也成立综上，由已知可得，而，即下面证明，时，命题成立假设时命题成立，即，则，又，即时，命题也成立熟记种方法数学归纳法是种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学命题证明时步骤和缺不可，步骤是步骤的基础，步骤是递推的依据勿忘点注意运用数学归纳法应注意第步验证时，不定为，要根据题目要求选择合适的起始值由时命题成立，证明时命题成立的过程中，定要归纳假设，否则就不是数学归纳法规范解答之数学归纳法在数列问题中的应用分安徽高考改编数列满足......”。

6、“.....证明数列是递增数列规范解答示例充分性若，由于，数列是递减数列分必要性若是递减数列，则，且又，故是递减数列的充要条件是分若，要证是递增数列即，也就是证明分下面用数学归纳法证明当，即是递增数列分构建答题模板第步利用充要条件的意义，判定递减⇔⇓第二步运用分析法，将结论转化为判定⇓第三步验证时，结论成立⇓第四步假设当时证明当时智慧心语易错提示第问只判定充分性或必要性，证明不完整难以将第的结论转化为判定或在证明时，不能运用函数的单调性，导致归纳假设运用受阻防范措施正确理解充要条件的意义充要条件必须从充分性和必要性两个方面判定善于转化，从函数的角度理解与的关系，抓住与的单调性，利用归纳假设证明传递性类题通关若数列中求试判定与的大小，并加以证明解由得，经比较有猜想下面利用数学归纳法证明当时，因，所以，也就是说，当时......”。

7、“.....等时命题成立假设，且时结论成立，证明当时，命题也成立命题对于从开始的所有正整数都成立第个值数学归纳法两步骤间的内在联系数学归纳法中的步骤是命题论证的基础，步骤是判断命题的正确性能否递推下去的保证，两者缺不可夯基释疑判断下列结论的正误正确的打，错误的打“”用数学归纳法证明问题时，第步是验证当时结论成立所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由到时，项数都增加了项用数学归纳法证明等式“„”，验证时，左边式子应为解析根据题中的范围确定的初始值故错误和正整数有关的命题也可以不用数学归纳法证明故错误由到增加的项数不能确定，要由具体题目确定故错误当时，指数最大为，因此左边为故正确答案教材改编在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为条时，第步检验解析三角形是边数最少的凸多边形，故第步应检验答案在数列中且，通过求，猜想的表达式为解析由得，即，即由......”。

8、“.....则解析„，„答案用数学归纳法证明“„”，由不等式成立，推证时，左边应增加的项的项数是解析由到时，不等式左端增加的项为„共增加项答案考向用数学归纳法证明等式典例江苏高考已知函数，设为的导数，求的值证明对任意的，等式都成立解由已知，得，于是，所以，，故证明由已知，得，等式两边分别对求导，得，即，类似可得，，下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立当时，由上可知等式成立假设当时等式成立，即因为，，所以因此当时，等式也成立综合可知等式对所有的都成立令......”。

9、“.....要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少由时命题成立，推出时等式成立，要找出等式两边的变化差异，明确变形目标二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法变式训练设„求证„，证明当时，左边，右边，左边右边，等式成立假设，时，结论成立，即„，那么，当时，„，当时结论仍然成立由可知„，考向用数学归纳法证明不等式典例安徽高考设实数，整数，证明当且时数列满足，对所有的都成立当时，由上可知等式成立假设当时等式成立，即因为，，所以因此当时，等式也成立综合可知等式对所有的都成立令，可得所以规律方法用数学归纳法证明等式问题......”。