1、“.....则的值为错解由,⇒直线和双曲线有且仅,即直线在轴上的截距为求弦长通常用公式为由得设直线与双曲线交于,两点由根与系数的关系,得,又较为方便,般不求出交点的坐标典型例题直线在双曲线−上截得的弦长为,其斜率为,求直线在轴上的截距思路分析设直线的方程为,然后利用弦长为,即可求出截距解设直线的方程主要是利用根与系数的关系解决另外,在弦的问题中,经常遇到与弦的中点有关的问题,这种问题经常用点差法解决另外,要注意灵活转化,如垂直相等的问题也可转化成中点弦长问题来解决求双曲线中的弦长利用弦长公式系数等于时,就转化成或的元次方程,只有个解这时直线与双曲线相交只有个交点当二次项系数不为零时,利用根的判别式,判断直线和双曲线的位置关系对于弦长问题,主要是利用弦长公式,而弦长公式的应用,范围在解题中要注意点直线和双曲线的位置关系的题目,般先联立方程组,消去个变量......”。

2、“.....且,则此双曲线的离心率的最大值为思路分析由于,所以只要得到与的关系就可以求出的值或者,故当焦点在轴上时,其渐近线方程为,依题意则,所以,故答案或当焦点不确定时,要注意分类讨论典型例题已知双曲线−双曲线的离心率为解析要求双曲线的离心率需找出与的关系而本题已知渐近线方程,需确定双曲线的焦点位置,因而需要分类讨论当焦点在轴上时,其渐近线方程为依题意则,所以是依据条件提供的信息建立关于参数的等式,进而转化为关于离心率的方程,再解出的值求离心率的范围时,常结合已知条件构建关于的不等关系典型例题双曲线的渐近线方程为,则或不等式来求解求参数取值范围的题是各类考试中的常见题型,解题方法仍是充分利用双曲线的性质求双曲线离心率或离心率范围的常用方法求双曲线的离心率的常见方法是依据条件求出再计算二求解双曲线的离心率公式,仅从形式上来看离心率似乎与焦点位置无关......”。

3、“.....故需要分类讨论根据双曲线的,的关系,由题意转化为关于的等式心率,渐近线方程为,作草图如图要注意正确判定焦点的位置双曲线与椭圆相比,双曲线有两个顶点,而椭圆有四个顶点对渐近线方程的求法,是利用渐近线方程写出二是由方程给双曲线方程化为标准方程,再根据标准方程求出各有关量解将变形为,即−因此顶点为焦点为,实半轴长是,虚半轴长是离的焦点在轴上时,渐近线方程为焦点在轴上时,渐近线方程为典型例题求双曲线的顶点坐标焦点坐标实半轴长虚半轴长离心率和渐近线方程,并作出草图思路分析先将所线即以,为两邻边的矩形的对角线所在直线和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画出双曲线的近似图形要注意正确判断焦点所在的坐标轴,焦点所在的坐标轴不同时,顶点坐标渐近线方程形式也是不同的线即以,为两邻边的矩形的对角线所在直线和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画出双曲线的近似图形要注意正确判断焦点所在的坐标轴,焦点所在的坐标轴不同时,顶点坐标渐近线方程形式也是不同的焦点在轴上时......”。

4、“.....渐近线方程为典型例题求双曲线的顶点坐标焦点坐标实半轴长虚半轴长离心率和渐近线方程,并作出草图思路分析先将所给双曲线方程化为标准方程,再根据标准方程求出各有关量解将变形为,即−因此顶点为焦点为,实半轴长是,虚半轴长是离心率,渐近线方程为,作草图如图要注意正确判定焦点的位置双曲线与椭圆相比,双曲线有两个顶点,而椭圆有四个顶点对渐近线方程的求法,是利用渐近线方程写出二是由方程求解双曲线的离心率公式,仅从形式上来看离心率似乎与焦点位置无关,而实际上是与焦点有关的仅由渐近线不能确定双曲线的焦点,故需要分类讨论根据双曲线的,的关系,由题意转化为关于的等式或不等式来求解求参数取值范围的题是各类考试中的常见题型,解题方法仍是充分利用双曲线的性质求双曲线离心率或离心率范围的常用方法求双曲线的离心率的常见方法是依据条件求出再计算二是依据条件提供的信息建立关于参数的等式,进而转化为关于离心率的方程,再解出的值求离心率的范围时......”。

5、“.....则双曲线的离心率为解析要求双曲线的离心率需找出与的关系而本题已知渐近线方程,需确定双曲线的焦点位置,因而需要分类讨论当焦点在轴上时,其渐近线方程为依题意则,所以,故当焦点在轴上时,其渐近线方程为,依题意则,所以,故答案或当焦点不确定时,要注意分类讨论典型例题已知双曲线−的左右焦点分别为点在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率的最大值为思路分析由于,所以只要得到与的关系就可以求出的值或者范围在解题中要注意点直线和双曲线的位置关系的题目,般先联立方程组,消去个变量,转化成关于或的元二次方程再根据元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系这时首先要看二次项的系数是否等于当二次项系数等于时,就转化成或的元次方程,只有个解这时直线与双曲线相交只有个交点当二次项系数不为零时,利用根的判别式,判断直线和双曲线的位置关系对于弦长问题,主要是利用弦长公式,而弦长公式的应用,主要是利用根与系数的关系解决另外,在弦的问题中,经常遇到与弦的中点有关的问题,这种问题经常用点差法解决另外......”。

6、“.....如垂直相等的问题也可转化成中点弦长问题来解决求双曲线中的弦长利用弦长公式较为方便,般不求出交点的坐标典型例题直线在双曲线−上截得的弦长为,其斜率为,求直线在轴上的截距思路分析设直线的方程为,然后利用弦长为,即可求出截距解设直线的方程为由得设直线与双曲线交于,两点由根与系数的关系,得,又,即直线在轴上的截距为求弦长通常用公式其中为直线的斜率易错点因忽视二次项系数而漏解典型例题已知直线与双曲线有且仅有个公共点,则的值为错解由,⇒直线和双曲线有且仅有个公共点解得错因分析利用判别式来判断交点时必须为二次方程,前提是,所以上面的解法忽略了,即的情况正解由,⇒当时,即时,上述方程为二次方程直线和双曲线有且仅有个公共点解得当时,直线和双曲线的渐近线平行,此时有且仅有个公共点综上或直线与双曲线只有个交点时可能是直线与双曲线相切,也可能是直线恰与双曲线的渐近线平行双曲线的虚轴长是实轴长的倍,则等于解析曲线是双曲线,排除选项,将代入已知方程,变为,虚轴长为,实轴长为,满足题意......”。

7、“.....若双曲线恰平分三角形的另两边,则双曲线的离心率为解析如图所示,而,故选答案已知双曲线−的条渐近线方程是,它的个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲线的方程为解析由条件知双曲线的焦点为所以解得故双曲线的方程为−答案−过双曲线的左焦点,作倾斜角为𝜋的弦,则的长为解析双曲线左焦点为将直线方程代入双曲线方程,得设答案求双曲线的实轴长虚轴长顶点坐标焦点坐标离心率渐近线方程解将变形为−,即−,实轴长,虚轴长顶点坐标为焦点坐标为离心率渐近线方程为双曲线的简单性质课程目标学习脉络掌握双曲线的范围对称性顶点渐近线及离心率等简单几何性质感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,体会数形结合思想双曲线−的简单性质等轴双曲线实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线......”。

8、“.....反之不定成立它们的四个焦点共圆设它们的离心率分别为则记忆方法将−中的改为即为渐近线,改为即为共轭双曲线思考如何正确理解双曲线的渐近线提示双曲线的渐近线是两条直线随着和趋向于无穷大,双曲线将无限地与渐近线接近,但永远没有交点由双曲线的渐近线方程只能确定与或与的比值,却无法确定双曲线的焦点在哪坐标轴上与双曲线−有相同渐近线的双曲线系为−,焦点可能在轴上,也可能在轴上所有以为渐近线的双曲线的方程可设为在画双曲线的草图时,应先画出其两条渐近线,然后再标出两顶点的坐标,利用双曲线的图形特征,即可作出比较准确的草图思考双曲线中应注意的问题是什么提示双曲线是两支曲线,而椭圆是条封闭的曲线双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的双曲线只有两个顶点,离心率等轴双曲线是种比较特殊的双曲线,其离心率为,实轴长与虚轴长相等,两条渐近线互相垂直注意双曲线中,的等量关系与椭圆中......”。

9、“.....需先看所给方程是否为标准方程,若不是,需先把方程化为标准方程,然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴,找准和,才能正确地写出焦点坐标顶点坐标等注意与椭圆的相关几何性质进行比较由双曲线的方程,求双曲线的有关性质的步骤将双曲线方程化为标准形式−或根据它确定,的值注意分母分别为而不是求出,再对照双曲线的几何性质得到相应的答案画近似图形,要先画双曲线的两条渐近线即以,为两邻边的矩形的对角线所在直线和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画出双曲线的近似图形要注意正确判断焦点所在的坐标轴,焦点所在的坐标轴不同时,顶点坐标渐近线方程形式也是不同的焦点在轴上时,渐近线方程为焦点在轴上时,渐近线方程为典型例题求双曲线的顶点坐标焦点坐标实半轴长虚半轴长离心率和渐近线方程,并作出草图思路分析先将所给双曲线方程化为标准方程,再根据标准方程求出各有关量解将变形为,即−因此顶点为焦点为,实半轴长是,虚半轴长是离心率,渐近线方程为,作草图如图要注意正确判定焦点的位置双曲线与椭圆相比......”。