1、“.....线段的中点坐标为则双曲线的方程是−−解析设双曲线的支和条直线双曲线和条射线双曲线的支和条射线解析,当时即,点的轨迹为双曲线的支靠近点当时即,点的轨迹即点到,的距离为此题最好画出双曲线,再结合双曲线的定义解答已知,为定点,动点满足,当和时,点的轨迹为双曲线和条直线双曲线的短距离为,所以不合题意事实上,在求解此类问题时,应灵活运用双曲线的定义,分析出点的位置情况,然后再求解正解前面同错解,因左顶点到右焦点的距离为,所以点只能在双曲线的右支上的距离错解设双曲线的两个焦点分别为,由双曲线的定义知,或错因分析对双曲线的定义模糊不清,由题意,知双曲线左支上的点到左焦点的最,利用声音传播的时间差来建立双曲线的方程,然后借助于曲线的交轨法来确定,这是解析几何的个重要应用易错点因对双曲线的定义理解不当而致误典型例题双曲线−上的点到点,的距离为,求点到则为焦点在轴上右支上解方程组,得直线与双曲线的交点为,因此......”。

2、“.....且离舰的距离为般来讲,空间物体的定位最后得出方程即可双曲线标准方程的求解步骤求过两点的椭圆或双曲线的标准方程统设为若依条件得,则为焦点在轴上的椭圆若,则为焦点在轴上的椭圆若知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为,然后由条件求,在利用上述方法求双曲线的标准方程时,根据题设条件得到关于,或,的二元方程组,解方程组求出,或要注意定义中的条件若条件中不能确定与的大小,需分类讨论利用待定系数法求双曲线的标准方程时,必须依焦点所处的位置选择标准方程的形式如果已知双曲线的方程为标准形式,但不行分类讨论解当时,轨迹是两条射线与当时,轨迹是线段的垂直平分线,即轴,方程为当时,轨迹不存在利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时,定点,的距离的差的绝对值为定值,试讨论点的轨迹方程思路分析从题设条件看,点的轨迹似乎是双曲线,但注意到双曲线定义中的条件,所以要确定点的轨迹方程,应依据条件,对进,两式相加得,则的周长为答案典型例题若个动点,到两个免去些复杂的计算......”。

3、“.....两点,且,则的周长等于解析由双曲线的定义有要求与−同焦点的双曲线的标准方程,可以将所求的双曲线方程设为−的形式,从而解决问题恰当地利用双曲线的定义,可以解决三角形的周长轨迹等问题,这样可以但焦点是,的双曲线的方程定是−吗提示根据双曲线的定义可知,即使其两个焦点确定了,但定义中的常数不定时,相应的双曲线也不定那么对于具体问题中,如果因此,在具体问题中可以考虑将所要求的椭圆或双曲线的标准方程设为的形式,只是要注意这个方程在表示椭圆与双曲线时,对于,的要求不样思考双曲线−的焦点是因此,在具体问题中可以考虑将所要求的椭圆或双曲线的标准方程设为的形式,只是要注意这个方程在表示椭圆与双曲线时,对于,的要求不样思考双曲线−的焦点是但焦点是,的双曲线的方程定是−吗提示根据双曲线的定义可知,即使其两个焦点确定了,但定义中的常数不定时,相应的双曲线也不定那么对于具体问题中,如果要求与−同焦点的双曲线的标准方程......”。

4、“.....从而解决问题恰当地利用双曲线的定义,可以解决三角形的周长轨迹等问题,这样可以免去些复杂的计算,提高同学们的解题能力典型例题已知双曲线−的左右焦点分别为过点作直线交双曲线的左支于,两点,且,则的周长等于解析由双曲线的定义有,两式相加得,则的周长为答案典型例题若个动点,到两个定点,的距离的差的绝对值为定值,试讨论点的轨迹方程思路分析从题设条件看,点的轨迹似乎是双曲线,但注意到双曲线定义中的条件,所以要确定点的轨迹方程,应依据条件,对进行分类讨论解当时,轨迹是两条射线与当时,轨迹是线段的垂直平分线,即轴,方程为当时,轨迹不存在利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时,要注意定义中的条件若条件中不能确定与的大小,需分类讨论利用待定系数法求双曲线的标准方程时,必须依焦点所处的位置选择标准方程的形式如果已知双曲线的方程为标准形式,但不知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为,然后由条件求,在利用上述方法求双曲线的标准方程时,根据题设条件得到关于,或,的二元方程组,解方程组求出......”。

5、“.....则为焦点在轴上的椭圆若,则为焦点在轴上的椭圆若则为焦点在轴上右支上解方程组,得直线与双曲线的交点为,因此,海洋动物的位置在舰的北偏东方向,且离舰的距离为般来讲,空间物体的定位,利用声音传播的时间差来建立双曲线的方程,然后借助于曲线的交轨法来确定,这是解析几何的个重要应用易错点因对双曲线的定义理解不当而致误典型例题双曲线−上的点到点,的距离为,求点到,的距离错解设双曲线的两个焦点分别为,由双曲线的定义知,或错因分析对双曲线的定义模糊不清,由题意,知双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为,所以不合题意事实上,在求解此类问题时,应灵活运用双曲线的定义,分析出点的位置情况,然后再求解正解前面同错解,因左顶点到右焦点的距离为,所以点只能在双曲线的右支上,即点到,的距离为此题最好画出双曲线,再结合双曲线的定义解答已知,为定点,动点满足,当和时......”。

6、“.....当时即,点的轨迹为双曲线的支靠近点当时即,点的轨迹是以为起点的射线故选答案已知双曲线中心在原点且个焦点为点位于该双曲线上,线段的中点坐标为则双曲线的方程是−−解析设双曲线的方程为−,由已知可得则有解得,双曲线的方程为答案,为双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且,则的面积是解析双曲线的两个焦点为,即,由得,答案如图,已知双曲线以长方形的顶点,为左右焦点,且过,两顶点若则此双曲线的标准方程为解析,为双曲线的左右焦点,且,双曲线的焦点为可设−,点,在双曲线上,即−,解得或时,方程为,为椭圆,舍去时,方程为答案中心接到其正东正西正北方向三个观测点的报告正西正北两个观测点同时听到了声巨响,正东观测点听到该巨响的时间比其他两个观测点晚已知各观测点到该中心的距离都是试确定该巨响发生的位置假定当时声音传播速度为,相关各点均在同平面上解如图,以接报中心为原点,正东正北方向为轴轴正方向,建立直角坐标系设分别是正西正东正北观测点,则,设,为巨响发生点由,同时听到巨响声,得,故点在的垂直平分线上......”。

7、“.....知点在以,为焦点的双曲线−上由题意,得双曲线方程为−把代入上式,得,即故因此该巨响发生在接报中心北偏西距中心处双曲线双曲线及其标准方程课程目标学习脉络理解并掌握双曲线的定义,了解双曲线的焦点焦距掌握双曲线的标准方程,能利用定义求标准方程及分析解决有关问题进步体会待定系数法求轨迹方程及分类讨论数形结合的数学思想方法的运用双曲线定义平面内到两定点,的距离之差的绝对值等于常数大于零且小于的点的集合叫作双曲线定点,叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距双曲线的定义与椭圆的定义的异同两者都是描述动点与两定点距离的关系,但有本质区别,双曲线是动点到两定点距离的差的绝对值是常数,而椭圆则是动点到两定点距离之和是常数之间的关系,双曲线与椭圆有区别,在椭圆中有,而在双曲线中有,这些隐含条件在解题时定不要混淆思考如何理解双曲线的定义提示定义中有个大前提是“平面内”,若去掉它,则轨迹就是空间图形了......”。

8、“.....其余条件不变,则轨迹成为两条射线以,为端点若将其改为“大于”,其余条件不变,则这样的曲线不存在定义中的关键词“绝对值”若将“绝对值”去掉,其余条件不变,则点的轨迹表示的只是支焦点在轴上左支或右支焦点在轴上上支或下支定义中的关键词“定值”若“定值”等于,其余条件不变,则点的轨迹是线段的中垂线双曲线的标准方程在双曲线的标准方程中,可用,项的系数的正负来判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上焦点在系数为正项对应的坐标轴上双曲线标准方程中的两个参数,是双曲线的定形条件,但不定位,双曲线在坐标系中的位置由焦点来确定以坐标轴为对称轴的双曲线方程可设为或,即方程或表示双曲线的充要条件为思考双曲线与椭圆是两种不同的圆锥曲线,其标准方程的形式能够统吗提示尽管双曲线与椭圆是两种不同的圆锥曲线,但其标准方程的形式能够统只要仔细观察下它们的标准方程的形式就不难看出在方程中,令则对应的方程为同样地,在方程−中,只要令则对应的方程为由此可见......”。

9、“.....在具体问题中可以考虑将所要求的椭圆或双曲线的标准方程设为的形式,只是要注意这个方程在表示椭圆与双曲线时,对于,的要求不样思考双曲线−的焦点是但焦点是,的双曲线的方程定是−吗提示根据双曲线的定义可知,即使其两个焦点确定了,但定义中的常数不定时,相应的双曲线也不定那么对于具体问题中,如果要求与−同焦点的双曲线的标准方程,可以将所求的双曲线方程设为−的形式,从而解决问题恰当地利用双曲线的定义,可以解决三角形的周长轨迹等问题,这样可以免去些复杂的计算,提高同学们的解题能力典型例题已知双曲线−的左右焦点分别为过点作直线交双曲线的左支于,两点,且,则的周长等于解析由双曲线的定义有,两式相加得,则的周长为答案典型例题若个动点,到两个定点但焦点是,的双曲线的方程定是−吗提示根据双曲线的定义可知,即使其两个焦点确定了,但定义中的常数不定时,相应的双曲线也不定那么对于具体问题中,如果免去些复杂的计算......”。