1、“.....⊥⇒⊥面面垂直的性质⊥，∩，⊂，⊥⇒⊥两个平面垂直的判定方法利用定义两个平面相交，所成的二面角是直二面角判定定理⊂，⊥⇒⊥垂直关系的转化在证明两平面垂直时般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，般要用性质定理，在个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进步转化为线线垂直故熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键数学思想转化的思想例如图所示是个几何体的直观图正视图俯视图侧视图其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示求四棱锥的体积证明平面若为上的动点，求证⊥解由几何体的三视图可知，底面是边长为的正方形，⊥平面，，且，证明连结交于点，取中点，连结，，且，又，且，，且，四边形为平行四边形，又⊂平面，⊄平面，平面证明连结，......”。

2、“.....，⊥又⊥平面，⊥，⊥平面，⊥数形结合思想例几何体的三视图如图所示，是正方形对角线的交点，是的中点根据三视图，画出该几何体的直观图在直观图中，证明面证明面⊥面解该几何体是底面边长为的正方形，侧面为全等三角形的四棱锥，直观图如图所示证明连接，交于点，连接，为的中点，为的中点，又⊂面，⊄面，面连接，由三视图，⊥面，所以⊥又⊥，所以⊥平面⊂平面，面⊥面分类讨论思想例如果二面角的平面角是锐角，点到，和棱的距离分别为，和，求二面角的大小分析点可线线垂直的判定方法定义两条直线所成的角为平面几何中证明线线垂直的方法线面垂直的性质⊥，⊂⇒⊥线面垂直的性质⊥，⇒⊥线面垂直的判定方法线面垂直的定义与内任意直线垂直⇒⊥判定定理，⊂，∩⊥，⊥⇒⊥判定定理，⊥⇒⊥面面平行的性质，⊥⇒⊥面面垂直的性质⊥，∩，⊂......”。

3、“.....所成的二面角是直二面角判定定理⊂，⊥⇒⊥垂直关系的转化在证明两平面垂直时般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，般要用性质定理，在个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进步转化为线线垂直故熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键数学思想转化的思想例如图所示是个几何体的直观图正视图俯视图侧视图其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示求四棱锥的体积证明平面若为上的动点，求证⊥解由几何体的三视图可知，底面是边长为的正方形，⊥平面，，且，证明连结交于点，取中点，连结，，且，又，且，，且，四边形为平行四边形，又⊂平面，⊄平面，平面证明连结，，，，⊥又⊥平面，⊥，⊥平面，⊥数形结合思想例几何体的三视图如图所示......”。

4、“.....是的中点根据三视图，画出该几何体的直观图在直观图中，证明面证明面⊥面解该几何体是底面边长为的正方形，侧面为全等三角形的四棱锥，直观图如图所示证明连接，交于点，连接，为的中点，为的中点，又⊂面，⊄面，面连接，由三视图，⊥面，所以⊥又⊥，所以⊥平面⊂平面，面⊥面分类讨论思想例如果二面角的平面角是锐角，点到，和棱的距离分别为，和，求二面角的大小分析点可能在二面角的内部，也可能在外部，应分类解答解如图所示，在二面角的内部时，图，点在的外部时，图在图中，⊥，⊥⊥，⊥面同理⊥面而面∩面，面与面应重合即，在同平面内，是二面角的平面角在中，在中，在图中，应有函数的思想例在长方体中，点在上移动，点在上移动，求点和点的最短距离解如图所示，在上取动点，作⊥于，交于，连接，因为垂直于平面内的所有直线，所以⊥，⊥又，⊥，⊥设，则，又在中......”。

5、“.....即点和的最短距离为数学方法利用平移求异面直线所成的角例如图，在空间四边形中分别是，的中点，且，⊥，求与所成的角解连接，取的中点，连接分别是，的中点，和分别是和的中位线綊，綊故或其补角就是和所成的角，又⊥，故与所成的角为反证法例求证过直线外点有且只有条直线和这条直线平行已知点∉直线求证过点和直线平行的直线有且只有条证明存在性如图，∉，点和直线确定个平面，在平面内过点作直线与直线平行，故这样的直线存在唯性假设过点还有条直线与平行，，，这与，共点于矛盾故假设不成立，因此直线唯过直线外点有且只有条直线和这条直线平行规律技巧对于“有且唯”性命题的证明，既要证明“有”即存在性，又要证明唯性，其中唯性的证明大多采用反证法反证法的证明过程是从否定结论入手，进行推理，直至推出矛盾可以与假设相矛盾，也可以与已知定理公理相矛盾......”。

6、“.....故原命题成立同法例已知平面⊥平面，直线过内点，且⊥平面求证⊂分析此题直接证明，不易表达，可用同法证明证明在平面内过点作直线垂直于平面，的交线如图，则⊥平面因为和都过点，且垂直于平面，所以，重合也就是⊂平面第二章点直线平面之间的位置关系本章回顾知识结构方法总结公理的应用证明共面问题证明共面问题，般有两种证法是由些元素确定个平面，再证明其余元素在这个平面内二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出两点在两个平面的交线上，再证明第三点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于点，再证明第三条直线经过这点......”。

7、“.....把异面问题转化为共面问题来解决根据等角定理及推论，异面直线所成的角的大小与顶点位置无关，将角的顶点取在些特殊点上如线段端点，中点等，以便于计算，具体步骤如下利用定义构造角证明所作出的角为异面直线所成的角解三角形求角线线平行的判定方法定义同平面内没有公共点的两条直线是平行直线公理，⇒平面几何中判定两直线平行的方法线面平行的性质，⊂，∩⇒线面垂直的性质⊥，⊥⇒面面平行的性质，∩，∩⇒直线和平面平行的判定方法定义∩∅⇒判定定理，⊄，⊂⇒线面垂直的性质⊥，⊥，⊄⇒面面平行的性质，⊂⇒两个平面平行的判定方法依定义采用反证法利用判定定理，，⊂，⊂，∩⇒垂直于同条直线的两个平面平行⊥，⊥⇒平行于同平面的两个平面平行，⇒平行关系的转化由上面的框图易知三者之间可以进行任意转化......”。

8、“.....在解题时把握这点，灵活确定转化的思路和方向线线垂直的判定方法定义两条直线所成的角为平面几何中证明线线垂直的方法线面垂直的性质⊥，⊂⇒⊥线面垂直的性质⊥，⇒⊥线面垂直的判定方法线面垂直的定义与内任意直线垂直⇒⊥判定定理，⊂，∩⊥，⊥⇒⊥判定定理，⊥⇒⊥面面平行的性质，⊥⇒⊥面面垂直的性质⊥，∩，⊂，⊥⇒⊥两个平面垂直的判定方法利用定义两个平面相交，所成的二面角是直二面角判定定理⊂，⊥⇒⊥垂直关系的转化在证明两平面垂直时般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，般要用性质定理，在个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直......”。

9、“.....俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示求四棱锥的体积证明平面若为上的动点，求证⊥解由几何体的三视图可知，底面是边长为的正方形，⊥平面，，且，证明连结交于点，取中点，连结，，且，又，且，，且，四边形为平行四边形，又⊂平面，⊄平面，平面证明连结，，，，⊥又⊥平面，⊥，⊥平面，行的性质，⊥⇒⊥面面垂直的性质⊥，∩，⊂，⊥⇒⊥两个平面垂直的判定方法利用定义两个平面相交，所成的二面角是直二面角判定定理⊂，⊥⇒⊥垂直关系的转化在证明两平面垂直时般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，般要用性质定理，在个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直......”。