1、“.....真子集是子集的特殊形式从性质上空集是任何集合的子集，但不是任何集合的真子集空集是任何非空集合的真子集从符号上⊆指或都有可能，⊆，∅⊆都是正确的符号表示，，∅是不正确的符号表示关于空集的两点说明空集首先是集合，只不过空集中不含任何元素注意∅和∅是有区别的，∅是不含任何元素的集合，而∅集合中含有个元素∅规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集因此遇到诸如⊆或的问题时，务必优先考虑∅是否满足题意与子集真子集个数有关的四个结论假设集合中含有个元素，则有的子集的个数有个的非空子集的个数有个的真子集的个数有个的非空真子集的个数有个新课堂互动探究考点集合间关系的判断例指出下列各对集合之间的关系是等边三角形，是等腰三角形，分析先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合乊间的关系解析集合的代表元素是数，集合的代表元素是有序实数对......”。

2、“.....等腰三角形是两边相等的三角形，故集合，用数轴表示集合如图所示，由图可知由列丼法知„，„，故点评判断两集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言符号语言列丼法和描述法图形语言图来表示集合判断集合间的关系，其方法主要有三种列丼观察，如本例集合元素特征法首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系般地，设集合若推出，则⊆若推出，则⊆若，互相推出，则若推不出，也推不出，则集合，无包含关系数形结合法利用数轴或图，如本例变式探究已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则⊆⊆⊆⊆解析正方形定是矩形，矩形定是平行四边形，菱形也定是平行四边形答案考点二集合相等关系的应用例天津高检测已知集合若，求的值分析由可知两集合元素完全相同，由此列出关于，的方程组，求出，的值......”。

3、“.....无意义，所以只能，得，则,又或，当时，集合，不符合集合元素的互异性，舍去当时，符合题意点评本题以集合相等的概念为解题依据，以两个特殊元素为解题切入点，建立等量关系由集合相等关系求参数，应从集合相等的概念入手，寻找元素乊间的关系，若集合中合相等的概念为解题依据，以两个特殊元素为解题切入点，建立等量关系由集合相等关系求参数，应从集合相等的概念入手，寻找元素乊间的关系，若集合中的未知元素不止个，需进行分类讨论，并注意利用集合中元素的互异性对所得结果进行取舍变式探究设若，则实数解析，当时此时集合中不满足元素的互异性，舍去当时，由解得或由可知舍去综上所述，答案考点三子集关系的应用例若集合当时，求实数的取值范围分析要对进行分类讨论，分∅和∅两种情况解析当∅时，应有，得当∅时，如图，由数轴上各点的位置可得，且和不能同时成立，解得综上......”。

4、“.....常涉及两个集合，其中个为动集合含参数，另个为静集合具体的，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题空集是任何集合的子集，因此在解⊆∅的含参数的问题时，要注意讨论∅和∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面变式探究已知集合，⊆，求的值解析因为⊆，所以∅或∅当∅时，方程无解，此时当∅时，此时，所以，即有，解得综上所述，或新思维随堂自测集合的非空真子集的个数是解析集合的非空真子集有，共个答案已知集合则有⊆解析因为集合有且只有个元素，且，又∉,∉，故答案已知则能表示，之间关系的图是解析，，故选答案设若，则实数的取值范围是解析在数轴上表示出集合如图所示由上图可知，要使，则答案已知∅，则实数的取值范围是解析∅，∅即关于的方程有实根，得答案辨错解走出误区易错点忽视空集导致漏解典例设集合若⊆，则的取值集合为错解集合，若⊆，则或，于是当时当时......”。

5、“.....错因分析错解中由于忽视了空集是任何集合的子集，从而导致漏掉种情况，即∅分类讨论时，要注意做到分类标准清晰，既不重复又不遗漏正解集合，若⊆，则或或∅于是当时当时当∅时，所以的取值集合为反思当⊆时，若∅，则∅或∅，本题中，由于，∅，则∅或∅第课时集合间的基本关系目标导航理解集合之间的包含与相等的含义重点难点能识别给定集合的子集真子集，会判断集合间的关系重点在具体情境中了解空集的含义并会应用易错点新知识预习探究知识点子集的概念阅读教材图以上的内容，完成下列问题图的概念通常用平面上封闭曲线的内部代表集合子集定义对于两个集合如果集合中任意个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集记法⊆或⊇，读作“含于”或“包含”图示或思考符号“”与“⊆”有何不同提示“”表示元素与集合之间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系练习如果，那么⊆⊆⊆解析是集合的元素，不是集合的元素......”。

6、“.....项正确，故选答案知识点二集合的相等阅读教材倒数第二三四自然段，完成下列问题定义如果集合是集合的子集⊆，且集合是集合的子集⊆，此时，集合与集合中的元素是相同的，因此，集合与集合相等记法图示练习若，则解析又故答案知识点三真子集的概念阅读教材最后自然段及第自然段的内容，完成下列问题定义如果集合⊆，但存在元素，且∉，我们称集合是集合的真子集记法或图示练习已知集合，则集合与集合的关系是解析,既是集合的元素，又是集合的元素，又，但∉，所以答案知识点四空集阅读教材第二三自然段的内容，完成下列问题空集的定义不含任何元素的集合，叫做空集空集的表示∅规定空集是任何集合的子集思考与∅相同吗提示不同表示个集合，且集合中有且仅有个元素而∅表示空集其不含有任何元素，故∅练习下列四个集合中是空集的是∅或解析选项各有个元素，项中有无穷多个元素，无实数解......”。

7、“.....完成下列问题子集的有关性质任何个集合是它本身的子集，即⊆对于集合，如果⊆，⊆，那么⊆练习判断正误正确的打，错误的打“”∅⊆任何个集合至少有两个子集∅没有子集解析空集是任何集合的子集，即∅⊆空集只有个子集，即其本身∅⊆∅答案新视点名师博客对子集概念的三点说明“⊆”的含义若，则能推出不能把“⊆”理解为“是中部分元素组成的集合”，因为集合可能是空集，也可能是集合如果集合中存在着不是集合中的元素，那么集合不含于，或不包含，此时记作集合相等的三个关注点如果⊆，且⊆，那么这是证明两个集合相等的重要依据从元素的特征出发表达两个集合相等，即集合中的元素和集合中的元素相同，则这两个集合相等同个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在子集与真子集的区别从定义上集合是集合的子集包括是的真子集和相等两种情况，真子集是子集的特殊形式从性质上空集是任何集合的子集......”。

8、“.....⊆，∅⊆都是正确的符号表示，，∅是不正确的符号表示关于空集的两点说明空集首先是集合，只不过空集中不含任何元素注意∅和∅是有区别的，∅是不含任何元素的集合，而∅集合中含有个元素∅规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集因此遇到诸如⊆或的问题时，务必优先考虑∅是否满足题意与子集真子集个数有关的四个结论假设集合中含有个元素，则有的子集的个数有个的非空子集的个数有个的真子集的个数有个的非空真子集的个数有个新课堂互动探究考点集合间关系的判断例指出下列各对集合之间的关系是等边三角形，是等腰三角形从定义上集合是集合的子集包括是的真子集和相等两种情况，真子集是子集的特殊形式从性质上空集是任何集合的子集，但不是任何集合的真子集空集是任何非空集合的真子集从符号上⊆指或都有可能，⊆，∅⊆都是正确的符号表示，......”。

9、“.....只不过空集中不含任何元素注意∅和∅是有区别的，∅是不含任何元素的集合，而∅集合中含有个元素∅规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集因此遇到诸如⊆或的问题时，务必优先考虑∅是否满足题意与子集真子集个数有关的四个结论假设集合中含有个元素，则有的子集的个数有个的非空子集的个数有个的真子集的个数有个的非空真子集的个数有个新课堂互动探究考点集合间关系的判断例指出下列各对集合之间的关系是等边三角形，是等腰三角形，分析先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合乊间的关系解析集合的代表元素是数，集合的代表元素是有序实数对，故与乊间无包含关系等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故集合，用数轴表示集合如图所示，由图可知由列丼法知„，„，故点评判断两集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化......”。