1、“.....⊥平面，且求异面直线与所成角的余弦值求二面角的正弦值设为棱的中点，点在平面内，且⊥平面，求线段的长课前自修栏目链接解析方法如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点依题意得，易得于是，所以异面直线与所成角的余弦值为易知，课前自修栏目链接设平面的法向量，则即，不妨令，可得同样地，设平面的法向量，则即，不妨令，可得于是，从而，所以二面角的正弦值为课前自修栏目链接由为棱的中点，得设，则由⊥平面，得即，解得故因此，所以线段的长课前自修栏目链接方法二由于故是异面直线与所成的角因为⊥平面，又为正方形的中心，可得因此所以异面直线与所成角的余弦值为连接，易知又由于所以≌过点作⊥于点，连接，于是⊥故为二面角的平面角课前自修栏目链接在中连接，在中，，从而所以二面角的正弦值为因为⊥平面，所以⊥取中点，连接，由于是棱中点，所以且又⊥平面，所以⊥平面故⊥又∩，所以⊥平面连接并延长交于点，则⊥故课前自修栏目链接由，得，延长交于点......”。

2、“.....在中，⊥故所以可得连接，在中，考点求线面角考点探究栏目链接例如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，⊥，垂足为，是四棱锥的高，为中点证明⊥若，求直线与平面所成角的正弦值自主解答考点探究栏目链接点评在用向量法求直线与平面所成的角有两种途径是直接求，，其中为斜线在平面内的射影二是通过求，进而转化求解，其中为平面的法向量，此时应特别注意与平面所以角与，的关系，它们互为余角，注意最后应完成转化考点探究栏目链接解析以为原点，分别为轴，线段的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则，设，则，可得，因为，所以⊥由已知条件可得故，，考点探究栏目链接设为平面的法相量，则，即，因此可以取由，可得所以直线与平面所成角的正弦值为考点探究变式探究栏目链接在正方体中，是的中点，点在上，且，试求直线与平面所成角的正弦值考点探究栏目链接解析设正方体棱长为，以为单位正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，则各点的坐标分别为，，，连接，所以，由题意可知，为平面的个法向量......”。

3、“.....所以直线与平面所成角的正弦值为考点求二面角的大小考点探究栏目链接例如图，︵是半径为的半圆，为直径，点为︵的中点，点和点为线段的三等分点，平面外点满足，证明⊥已知点，分别为线段，上的点，使得求平面与平面所成二面角的正弦值考点探究栏目链接证明为︵中点为直径，⊥，⊥又∩，⊥平面平，同理感悟高考栏目链接如图，以为原点，分别以的方向为轴轴轴的正方向，建立空间直角坐标系，则设是平面的个法向量，则⊥，⊥，又，令，得，感悟高考栏目链接由知平面的个法向量为设二面角的平面角为，可知为锐角，则，，二面角的余弦值为感悟高考高考测验栏目链接如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是的中点，⊥底面，证明平面⊥平面求二面角的大小感悟高考栏目链接方法证明连接，由是菱形且知，是等边三角形因为是的中点，所以⊥又，所以⊥又因为⊥平面，⊂平面，所以⊥，而∩，因此⊥平面又⊂平面，所以平面⊥平面解析由知，⊥平面,⊂平面,所以⊥又⊥，所以是二面角的平面角在中，，感悟高考栏目链接故二面角的大小为方法二如图所示，以为原点......”。

4、“.....证明因为，平面的个法向量是，所以和共线从而⊥平面感悟高考栏目链接又因为⊂平面，所以平面⊥平面解析易知，，设是平面的个法向量，则由得，所以，故可取而平面的个法向量是于是故二面角的大小为感悟高考栏目链接深圳模如图，的直径，点为上两点，且，，为︵的中点沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直如图求证平面求二面角的余弦值在︵上是否存在点，使得平面若存在，试指出点的位置，并求直线与平面所成角的正弦值若不存在，请说明理由感悟高考栏目链接证明如图，因为，连接，则⊥以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，建立空间直角坐标系，则因为点为︵的中点，所以点的坐标为，所以，即因为⊄平面，⊂平面，所以平面感悟高考栏目链接解析因为，所以点的坐标，设二面角的大小为，为平面的个法向量由，有，即，取，解得，所以取平面的个法向量，所以感悟高考栏目链接解析设在︵上存在点，使得平面，平面，平面平面，则有设，因为，所以又因为，所以，解得舍去所以，则为︵的中点因此，在︵上存在点，使得平面......”。

5、“.....因为根据的计算为平面的个法向量，感悟高考栏目链接所以因此，直线与平面所成角的正弦值为高考总复习数学理科第八章立体几何与空间向量第八节空间向量的应用课前自修栏目链接异面直线所成的角定义已知两条异面直线经过空间任点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把，所成的锐角或直角叫异面直线，所成的角或夹角为了简便起见，点通常取在异面直线的条上异面直线所成的角的取值范围，求异面直线所成的角的方法几何法向量法课前自修栏目链接二直线和平面所成的角定义平面的条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角特例当直线垂直于平面，规定它们所成的角是直角当直线平行于平面或在平面内，规定它们所成的角为角直线和平面所成角的取值范围，课前自修栏目链接三二面角定义平面内的条直线把平面分为两个部分，其中的每部分叫做半平面从条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为......”。

6、“.....且与两半平面交线分别为为垂足，则就是的平面角课前自修栏目链接说明二面角的平面角范围是二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直二面角大小的求法几何法向量法求二面角的射影公式，其中各个符号的含义是是二面角的个面内图形的面积，是图形在二面角的另个面内的射影，是二面角的平面角大小课前自修栏目链接四三种空间角的向量法计算公式异面直线，所成的角，其中，分别是异面直线，的方向向量直线与平面其法向量为所成的角，锐二面角，，其中，为两个面的法向量，，其中，是分别在两个面内且与棱都垂直的向量课前自修基础自测栏目链接若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于或解析根据线面角的定义知，选项正确课前自修栏目链接山东卷已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若为底面的中心，则与平面所成角的大小为课前自修栏目链接解析取的中心，连结如图所示所以，又，所以，又，所以课前自修栏目链接如图，在直三棱柱中，侧棱，为的中点......”。

7、“.....在长方体中，已知，分别是线段，上的点，且则二面角的余弦值为直线与所成角的余弦值课前自修栏目链接解析如图，以为原点，分别为轴轴轴的正向建立空间直角坐标系，则有于是，设向量与平面垂直，则有⊥⊥⇒⇒，其中课前自修栏目链接取，则是个与平面垂直的向量向量与平面垂直，与所成的角为二面角的平面角设与所成角为，则栏目链接考点求异面直线所成的角考点探究栏目链接例如图，平面⊥平面，为正方形，，且，分别是线段的中点求证⊥平面求异面直线与所成角的余弦值自主解答考点探究栏目链接点评异面直线所成角的取值范围是，若异面直线，的方向向量为异面直线，所成角为，则，解题过程是建系求点坐标表示向量计算考点探究栏目链接证明由于平面⊥平面，且平面∩平面，而即⊥，又⊂平面，所以⊥平面解析建立如图所示的空间直角坐标系，设考点探究变式探究栏目链接如图所示，在三棱柱中，是正方形的中心⊥平面，且求异面直线与所成角的余弦值求二面角的正弦值设为棱的中点，点在平面内，且⊥平面，求线段的长课前自修栏目链接解析方法如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点依题意得......”。

8、“.....所以异面直线与所成角的余弦值为易知，课前自修栏目链接设平面的法向量，则即，不妨令，可得同样地，设平面的法向量，则即，不妨令，可得于是，从而，所以二面角的正弦值为课前自修栏目链接由为棱的中点，得设，则由⊥平面，得即，解得故因此，所以线段的长课前自修栏目链接方法二由于故是异面直线与所成的角因为⊥平面，又为正方形的中心，可得因此所以异面直线与所成角的余弦值为连接，易知又由于所以≌过点作⊥于点，连接，于是⊥故为二面角的平面角课前自修栏目链接在中连接，在中，，从而所以二面角的正弦值为因为⊥平面，所以⊥取中点，连接，由于是棱中点，所以且又⊥平面，所以⊥平面故⊥又∩，所以⊥平面连接并延长交于点，则⊥故课前自修栏目链接由，得，延长交于点，可得连接，在中，⊥故所以可得连接，在中，考点求线面角考点探究栏目链接例如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，⊥，垂足为，是四棱锥的高，为中点证明⊥若......”。

9、“.....，其中为斜线在平面内的射影二是通过求，进而转化求解，其中为平面的法向量，此时应特别注意与平面所以角与，的关系，它们互为余角，注意最后应完成转化考点探究栏目链接解析以为原点，分别为轴，线段的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则，设，则，可得，⊥平面，且求异面直线与所成角的余弦值求二面角的正弦值设为棱的中点，点在平面内，且⊥平面，求线段的长课前自修栏目链接解析方法如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点依题意得，易得于是，所以异面直线与所成角的余弦值为易知，课前自修栏目链接设平面的法向量，则即，不妨令，可得同样地，设平面的法向量，则即，不妨令，可得于是，从而，所以二面角的正弦值为课前自修栏目链接由为棱的中点，得设，则由⊥平面，得即，解得故因此，所以线段的长课前自修栏目链接方法二由于故是异面直线与所成的角因为⊥平面，又为正方形的中心......”。