1、“.....其面积事件表示函数有零点，所构成的区域为即图中阴影部分，其面积为，故答案在棱长为的正方体中，点为底面的中心，在正方体内随机取点，则点到点的距离大于的概率为解析正，半球，半球正，故点到的距离大于的概率为思维点拨解析思维升华例甲乙两船驶向个不能同时停泊两艘船的码头，它们在昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为，乙船停泊时间为，求它们中的任意艘都不需要等待码头空出的概率题型三生活中的几何概型问题当基本事件受两个连续变量控制时，般是把两个连续变量分别作为个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的个区域，即可借助平面区域解决例甲乙两船驶向个不能同时停泊两艘船的码头，它们在昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为，乙船停泊时间为，求它们中的任意艘都不需要等待码头空出的概率题型三生活中的几何概型问题思维点拨解析思维升华解这是个几何概型问题设甲乙两艘船到达码头的时刻分别为与，为“两船都不需要等待码头空出”，则要使两船都不需要等待码头空出......”。

2、“.....它们在昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为，乙船停泊时间为，求它们中的任意艘都不需要等待码头空出的概率题型三生活中的几何概型问题思维点拨解析思维升华上或乙比甲早到达以上，即或故所求事件构成集合，或，,例甲乙两船驶向个不能同时停泊两艘船的码头，它们在昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为，乙船停泊时间为，求它们中的任意艘都不需要等待码头空出的概率题型三生活中的几何概型问题思维点拨解析思维升华为图中阴影部分，全部结果构成集合为边长是的正方形及其内部例甲乙两船驶向个不能同时停泊两艘船的码头，它们在昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为，乙船停泊时间为，求它们中的任意艘都不需要等待码头空出的概率题型三生活中的几何概型问题思维点拨解析思维升华所求概率为的面积的面积例甲乙两船驶向个不能同时停泊两艘船的码头，它们在昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为，乙船停泊时间为......”。

3、“.....提炼相关信息建模利用相关信息的特征，建立概率模型解模求解建立的数学模型结论将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论例甲乙两船驶向个不能同时停泊两艘船的码头，它们在昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为，乙船停泊时间为，求它们中的任意艘都不需要等待码头空出的概率题型三生活中的几何概型问题思维点拨解析思维升华跟踪训练重庆校早上开始上课，假设该校学生小张与小王在早上之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早分钟到校的概率为用数字作答解析在平面直角坐标系中画出由小王和小张到校的时间对应的点，所构成的平面区域，再画出小张比小王至少早到分钟对应的点，所构成的平面区域，计算出两区域的面积，利用几何概型的概率公式计算即可设小王到校时间为，小张到校时间为，则小张比小王至少早到分钟时满足如图，原点表示......”。

4、“.....该正方形区域的面积为，小张比小王至少早到分钟对应的图形图中阴影部分的面积为，故所求概率答案典例在长度为的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率易错警示系列混淆长度型与面积型几何概型致误温馨提醒规范解答易错分析易错分析温馨提醒不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计误易错分析温馨提醒规范解答方法与技巧区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个转化思想的应用对个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式般地，个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可方法与技巧若个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型若个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件......”。

5、“.....线段的端点图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果陕西改编从正方形四个顶点及其中心这个点中，任取个点，则这个点的距离不小于该正方形边长的概率为解析取两个点的所有情况为种，所有距离不小于正方形边长的情况有种，概率为设在,上随机地取值，则方程有实根的概率为解析元二次方程有实数根⇔，而，解得或，故所求概率为，∩，，的长度，的长度在区间,内取个数，则的概率是解析不等式，可化为，则，故所求概率为已知中，，在上任取点，则使为钝角三角形的概率为解析如图，当时，为直角，则点在线段不包含点上时，为钝角三角形当时，为直角，则点在线段不包含点上时，为钝角三角形所以为钝角三角形的概率为如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以，为直径作两个半圆在扇形内随机取点，则此点取自阴影部分的概率是解析设分别以，为直径的两个半圆交于点，的中点为，如图，连结，不妨令，则在以为直径的半圆中......”。

6、“.....所以整体图形中空白部分面积又因为扇形，所以阴影部分面积为所以答案已知集合，，若从中任取个元素均可作为直线的倾斜角，则直线的斜率小于零的概率是解析由于倾斜角范围为故当时，集合中共有个解，分别为其中当为，时，此时为钝角，直线的斜率小于零故直线的斜率小于零的概率湖北在区间,上随机地取个数，若满足的概率为，则解析由，得当时，由题意得，解得，矛盾，舍去当时，由题意得，解得即的值为在区间,和,上分别各取个数，记为和，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是解析方程表示焦点在轴上的椭圆如图，由题意知，在矩形内任取点点落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线恰好将矩形平分，所求的概率为答案小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影若此点到圆心的距离小于，则去打篮球否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为解析去看电影的概率，去打篮球的概率，不在家看书的概率为答案已知向量，若......”。

7、“.....先后抛掷两次时第次第二次出现的点数，求满足的概率解将枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为个由有，所以满足的基本事件为共个故满足的概率为若，在连续区间,上取值，求满足的概率解若，在连续区间,上取值，则全部基本事件的结果为满足的基本事件的结果为且画出图形如图，矩形的面积为矩形，阴影部分的面积为阴影，故满足的概率为湖北改编由不等式组确定的平面区域记为，不等式组，确定的平面区域为，在中随机取点，则该点恰好在内的概率为解析如图，平面区域就是三角形区域，平面区域与平面区域的重叠部分就是区域，易知故由几何概型的概率公式，得所求概率四边形答案个长方体空屋子，长，宽，高分别为米，米，米，地面三个角上各装有个捕蝇器大小忽略不计，可捕捉距其米空间内的苍蝇，若只苍蝇从位于另外角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是解析屋子的体积为米，捕蝇器能捕捉到的空间体积为故苍蝇被捕捉的概率是答案已知点在坐标原点，点在直线上......”。

8、“.....则的面积大于的概率是解析设根据题意知点若的面积小于或等于，则，即，此时点的横坐标而，所以点的横坐标所以的面积小于或等于的概率为，所以的面积大于的概率是答案在面积为的内部任取点，的面积大于的概率为解析如图，假设当点落在上时，恰好满足的面积等于，作⊥，⊥，则易知符合要求的点可以落在内的任意处，其概率为平面内有组平行线，且相邻平行线间的距离为，把枚半径为的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何条平行线相碰的概率是解析如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何条平行线相碰，故所求概率为设和是定义在同区间上的两个函数若对任意都有，则称和是“友好函数”设，若，求和是“友好函数”的概率解设事件表示和是“友好函数”，则,所有的情况有共种且每种情况被取到的可能性相同又当时，在，上递减，在，上递增且和在，上递增，对,可使恒成立的情况有故事件包含的基本事件有种故所求概率是若求和是“友好函数”的概率解设事件表示和是“友好函数”，是从区间,中任取的数，是从区间,中任取的数......”。

9、“.....所在的区域是长为，宽为的矩形区域要使,时，恒成立，需且，事件表示的点的区域是如图所示的阴影部分矩形区域的面积，阴影部分的面积阴，根据几何概型的概率公式可得所求概率为阴几何概型第十二章概率随机变量及其概率分布数学苏理基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分几何概型设是个可度量的区域例如线段平面图形立体图形等，每个基本事件可以视为从区域内随机地取点，区域内的每点被取到的机会都随机事件的发生可以视为恰好取到区域内的个指定区域中的点这时，事件发生的概率与的测度长度面积体积等成，与的和无关把满足这样条件的概率模型称为几何概型样正比形状位臵在几何概型中，事件的概率计算公式几何概型试验的两个基本特点无限性在次试验中，可能出现的结果有等可能性每个结果的发生具有的测度的测度无限多个等可能性思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”在个正方形区域内任取点的概率是零几何概型中，每个基本事件就是从个特定的几何区域内随机地取点......”。