1、“.....⊥平面⊥底面，⊥和分别是的中点求证⊥底面解析思维升华例平面思维点拨解析思维升华思维点拨例平面由可得线面平行证明为的中点，，且四边形为平行四边形又⊄平面，⊂平面，平面解析思维升华思维点拨例平面解析思维升华思维点拨例平面判定面面垂直的方法面面垂直的定义面面垂直的判定定理⊥，⊂⇒⊥在已知平面垂直时，般要用性质定理进行转化在个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进步转化为线线垂直解析思维升华思维点拨例平面⊥平面解析思维升华思维点拨例平面⊥平面证明直线⊥平面证明⊥，且四边形为平行四边形⊥，⊥由知⊥底面，则⊥，又∩，⊥平面，解析思维升华思维点拨例平面⊥平面从而⊥，又分别为的中点，，故⊥由，在平面内，且∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥底面解析思维升华思维点拨例平面⊥平面解析思维升华思维点拨例平面⊥平面判定面面垂直的方法面面垂直的定义面面垂直的判定定理⊥，⊂⇒⊥在已知平面垂直时，般要用性质定理进行转化在个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直......”。

2、“.....在三棱柱中，侧棱垂直于底面，⊥分别是，的中点求证平面⊥平面证明在三棱柱中，⊥底面，所以⊥又因为⊥，跟踪训练北京如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，⊥分别是，的中点求证平面⊥平面所以⊥平面，又⊂平面，所以平面⊥平面求证平面证明取的中点，连结，因为，分别是，的中点，所以，且因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形求证平面所以又因为⊂平面，⊄平面，所以平面求三棱锥的体积解因为⊥，所以所以三棱锥的体积题型三直线平面垂直的综合应用思维点拨解析思维升华例如图所示，在四棱锥中，平面⊥平面，，是等边三角形，已知，设是上的点，求证平面⊥平面思维点拨解析思维升华因为两平面垂直与点位置无关，所以在平面内定有条直线垂直于平面，考虑证明⊥平面题型三直线平面垂直的综合应用例如图所示，在四棱锥中，平面⊥平面，，是等边三角形，已知，设是上的点，求证平面⊥平面思维点拨解析思维升华证明在中题型三直线平面垂直的综合应用例如图所示，在四棱锥中，平面⊥平面，，是等边三角形......”。

3、“.....设是上的点，求证平面⊥平面⊥又平面⊥平面，平面∩平面，思维点拨解析思维升华⊂平面，⊥平面分别是，的中点，有下列三个论断⊥平面⊥平面其中正确论断的序号为解析如图，为正三棱锥，⊥又，⊂平面，⊄平面，平面故正确正方体中，与平面所成角的余弦值为解析画出图形，如图，与平面所成的角等于与平面所成的角，在三棱锥中，由三条侧棱两两垂直得点在底面内的射影为等边三角形的垂心即中心，连结则为与平面所成的角，设正方体的棱长为，则答案在如图所示的几何体中，四边形是直角梯形，，⊥是边长为的正三角形求证平面⊥平面证明因为四边形为直角梯形，，⊥，所以，又因为所以根据勾股定理可得⊥，因为同理可得⊥因为∩，⊂平面，⊂平面，所以⊥平面因为⊂平面，所以平面⊥平面求点到平面的距离解如图，取的中点，连结，因为是边长为的正三角形，所以⊥由易知⊥平面，则又因为的面积为，设点到平面的距离为，则由，得，所以，所以点到平面的距离为山东如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形......”。

4、“.....且，所以又由是的中点，因此且连结，如图在四棱柱中，因为可得所以四边形为平行四边形，因此又⊄平面，⊂平面，所以平面若垂直于平面且，求平面和平面所成的角锐角的余弦值解方法如图，连结，由知且，所以四边形为平行四边形，可得，所以，所以为正三角形，因为，可得，因此⊥以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，因此，所以，设平面的个法向量为，由，得可得平面的个法向量又为平面的个法向量，因此所以平面和平面所成的角锐角的余弦值为方法二由知平面∩平面，过点向引垂线交于点，连结，如图由⊥平面，可得⊥，因此为二面角的平面角在中，可得所以在中，，所以平面和平面所成的角锐角的余弦值为如图所示，在四棱锥中，⊥底面，且为菱形，在边上滑动，则当点满足时，平面⊥平面解析四边形是菱形，⊥又⊥面，⊥⊥平面，⊥当⊥时，则⊥平面从而得出平面⊥平面答案⊥已知是三个不同的平面，命题“，且⊥⇒⊥”是真命题......”。

5、“.....另个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有个解析若，换为直线则命题化为“，且⊥⇒⊥”，此命题为真命题若，换为直线则命题化为“，且⊥⇒⊥”，此命题为假命题若，换为直线则命题化为“，且⊥⇒⊥”，此命题为真命题答案如图，已知六棱锥的底面是正六边形，⊥平面则下列结论中⊥平面⊥平面直线平面其中正确的有把所有正确的序号都填上解析由⊥平面，⊂平面，得⊥，又由正六边形的性质得⊥，∩，得⊥平面，又⊂平面，⊥，正确平面⊥平面，平面⊥平面不成立，错由正六边形的性质得，又⊂平面，⊄平面，平面，直线平面也不成立，错在中，正确答案如图为空间四点，在中，等边三角形以为轴转动当平面⊥平面时，求的长解取的中点，连结，是等边三角形，⊥当平面⊥平面时，平面∩平面，⊥平面，可知⊥由已知可得，在中，当转动时，是否总有⊥证明你的结论解当以为轴转动时，总有⊥证明如下当在平面内时都在线段的垂直平分线上，即⊥当不在平面内时，由知⊥又，⊥又，为相交直线，⊥平面由⊂平面......”。

6、“.....总有⊥天津如图，在四棱锥中，⊥底面，⊥，，点为棱的中点证明⊥求直线与平面所成角的正弦值若为棱上点，满足⊥，求二面角的余弦值方法证明依题意，以点为原点建立空间直角坐标系如图，可得,由为棱的中点，得故，所以⊥解，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的个法向量于是有，所以，直线与平面所成角的正弦值为解,由点在棱上，设故由⊥，得，因此解得，即设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的个法向量取平面的法向量，则易知，二面角是锐角，所以其余弦值为方法二证明如图，取中点，连结，由于，分别为，的中点，故，且又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以因为⊥底面，故⊥而⊥，从而⊥平面因为⊂平面，于是⊥又，所以⊥解如图，连结由有⊥平面，得⊥而，故⊥又因为，为的中点，故⊥，所以⊥平面故平面⊥平面，所以，直线在平面内的射影为直线而⊥，可得为锐角，故为直线与平面所成的角依题意，有，而为中点，可得，所以，故在中，，因此，所以......”。

7、“.....在中，过点作交于点因为⊥底面，故⊥底面，从而⊥又⊥，得⊥平面，因此⊥在底面内，可得，从而在平面内，作交于点，于是由于，故，所以，四点共面由⊥，⊥，得⊥平面故⊥，所以为二面角的平面角，在中，，由余弦定理可得，所以，二面角的余弦值为直线平面垂直的判定与性质第八章立体几何数学苏理基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分直线与平面垂直图形条件结论判定⊥，⊂为内的直线⊥⊥，⊥，⊂，⊥，⊥任意∩⊥性质⊥，⊥⊥，⊥⊂几个常用的结论过空间任点有且只有条直线与已知平面垂直过空间任点有且只有个平面与已知直线垂直垂直于同直线的两个平面互相平行知识拓展两个平面垂直平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直文字语言图形语言符号语言判定定理如果个平面经过另个平面的条......”。

8、“.....那么在个平面内垂直于它们的直线垂直于另个平面交线⊥⊥∩⊂⊥线面角与二面角直线和平面所成的角平面的条斜线与它在所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角当直线与平面垂直和平行或直线在平面内时，规定直线和平面所成的角分别为平面内的射影和二面角的有关概念二面角从条直线和由这条直线出发的所组成的图形叫做二面角二面角的平面角以二面角的棱上任意点为端点，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角两个半平面垂直于棱思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”直线与平面内的无数条直线都垂直，则⊥若直线⊥平面，直线，则直线与垂直直线⊥，⊥，则若⊥，⊥⇒⊥，⊂⇒⊥题号答案解析可填⇒与⇒中的个中，由⊥,，可得⊂或或与相交，错误中，由，⊥，可得⊂或或与相交，错误中，由⊥，⊥，可得，又⊥，则⊥，正确中，由⊥，⊥，⊥，可得与相交或⊂或，错误解析思维升华例如图所示，在四棱锥中，⊥底面，⊥，⊥......”。

9、“.....在四棱锥中，⊥底面，⊥，⊥，是的中点证明⊥题型直线与平面垂直的判定与性质解析思维升华证明在四棱锥中，⊥底面，⊂平面，⊥⊥，∩，⊥平面而⊂平面，⊥思维点拨例如图所示，在四棱锥中，⊥底面，⊥，⊥，是的中点证明⊥题型直线与平面垂直的判定与性质证明直线和平面垂直的常用方法判定定理垂直于平面的传递性，⊥⇒⊥面面平行的性质⊥，⇒⊥面面垂直的性质解析思维升华思维点拨例如图所示，在四棱锥中，⊥底面，⊥，⊥，是的中点证明⊥题型直线与平面垂直的判定与性质证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想线面垂直的性质，常用来证明线线垂直解析思维升华思维点拨例如图所示，在四棱锥中，⊥底面，⊥，⊥......”。