1、“.....关于是单调的在上致收敛于则级数在上致收敛证明证法与定理相仿由可知存在正数，对切，有因此当,为任何正整数时，对任何个，再由及阿贝尔引理，得到，再由，任给，存在，当时，对切，有，所以根据函数项级数致收敛性的柯西准则，在上致收敛例若数列单调且收敛于零,则级数,上致收敛证明在,上有所以级数的部分和函数列在,上致有界于是令,则由狄利克雷判别法可得级数在,上致收敛定理狄尼判别法设连续函数序列在有限个区间,上逐点收敛于连续函数，且对任何,，数列都是单调数列，则在,上致收敛于证明用反证法若假，则于,上非致收敛，于是存在，自然数列的子列和,上的点列，使得由致密性定理知必有收敛子列，故不妨设本身收敛于,由于收敛于，故对,存在，使得，由因为函数在点连续，而收敛于点......”。

2、“.....使得当时，就有因为对每个,，数列单调，故当，由得到这与矛盾此定理也可以改写成级数的形式推论狄尼判别法的级数形式设函数项级数在有限区间,上逐点收敛于和函数，级数的所有项及和函数都在,上连续，且对每个,，数列的所有项同号，则函数级数在,上致收敛于例判定函数级数在区间,和,上是否致收敛解对任何，都有当时，由上式即得，由此可知，级数在,上时非致收敛当,时有，因为，所以正项级数收敛，从而由判别法知级数在,上致收敛对于数项级数中的交错级数的收敛性有莱布尼茨判别法,考虑到数项级数实际上是函数项级数的种特殊情况,对此我们有类似的判别方法,即莱布尼茨判别法定理莱布尼茨判别法若，,为型函数项级数，则此级数在,上致收敛证明因为是,上的连续函数......”。

3、“.....上单调减少且收于连续函数所以在,连续非负，而，由定理知函数项级数在区间,致收敛于，从而函数列在,致收敛于又，所以,故致有界，由判别法知交错函数项级数在区间,上致收敛由得致收敛，设，于是例试证在区间,致收敛证明是任意闭区间,上的连续函数列且,,，由定理知函数项级数在,上致收敛第四章函数项级数致收敛性判别法的推广定理余项判别法函数项级数在数集上致收敛于的充要条件是证明必要性已知函数项级数在区间致收敛于有,从而,即......”。

4、“.....即,有,所以有即级数在区间上致收敛于例判断它的收敛性解,因为,故,所以函数级数在区间,致收敛定理积分判别法设,为区域仅仅依靠物理模型几何直观以及较简单的代数函数，对各种函数进行运算，这是不够严谨的。到了世纪大批优秀的数学家对其进行了认真严密的探索和研究，首次进行无穷级数重要和严格化研究的是德国数学家高斯他对于些特殊的函数项级数进行了收敛和发散的证明函数项级数致收敛性的发展在高斯等人对无穷级数研究的基础之上，柯西,第个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础，并建立了严格完整的级数理论。阿贝尔,对柯西的级数理论非常感兴趣，并对理论进行了深刻的研究，对其进行了完善，后来由魏尔斯特拉斯，和狄利克雷，提出的致收敛判别法完成了整个级数理论的构建，并分别找到了函数项级数致收敛性的判别方法......”。

5、“.....找到了其它判断函数项级数致收敛的更多方法，比如比式判别法，根式判别法及其推论，而对于函数项级数致收敛性的判别方法研究将不会停止判别函数项级数致收敛的意义从教材中了解到级数内容主要分为两大块，即数项级数与函数项级数。数项级数通常被认为是函数项级数的个典型例子，而函数项级数，种意义上，是对数项级数的延伸所以它们在致收敛的判别方法上，具有相同或相似之处，弄清楚函数项级数致收敛的判别方法，也可以推广到级数收敛的判别方法判别函数项级数致收敛性的理论意义致收敛性是函数项级数的个重要性质,有效地判别函数项级数的致收敛对进步研究函数项级数的性质起着重要的作用,而函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广,同时数项级数也可以看作是函数项级数的个特例,它们在研究内容上有许多相似之处对于函数项级数,我们不仅要讨论它在哪些点上收敛,而且更重要的是要研究和函数所具有的解析性质比如能否由函数项级数的每项连续可积可微......”。

6、“.....更需要这样为此,需要提出更多的方法来判断函数项级数的致收敛性判别函数项级数致收敛性的实际意义对于函数项级数，弄清楚致收敛的判别方法，能够在重温旧知识的基础上，找到新的判别方法，增加研究者的创新能力也能帮助人们更好地理解级数，对于以后的教学者或学生来说，不同的函数项级数的致收敛性可以用各自相对应的判别法则进行判别，有的可以找到最简单的判别方法，这样可以大大降低教学或学习的难度，又能够更好地帮助学习者在级数理解方面更加透彻更加易懂而且函数项级数致收敛的性质可以运用于实际生活中，比如运动员团队在进行比赛时，可以根据他们的平时成绩求和达到最大值决定该由人在第几个位置出场，建立数学模型第二章函数项级数致收敛性的定义函数项级数及其收敛性定义设是定义在数集上的个函数列，表达式,称为定义在上的函数项级数，简记为或称为函数项级数的部分和函数列若......”。

7、“.....即部分和当时极限存在，则称级数在点收敛，称为级数的收敛点若级数发散，则称级数在点发散若级数在的个子集上每点都收敛，则称级数在上收敛若为级数全体收敛点的集合，这时称为级数的收敛域级数在上每点与其所对应的数项级数的和构成个定义在上的函数，称为级数的和函数，并写作,即也就是说，函数项级数的收敛性就是指它的部分和数列的收敛性函数项上是否致收敛解是数项级数，他的收敛性就意味着关于的致收敛性而关于单调，且，对切成立由阿贝尔判别法可知级数在,上致收敛特别地，比如在,上是致收敛的定理狄利克雷判别法设的部分和函数序列上的非负函数,是定义在数集上的正项函数级,,如果,在,上关于为单调减函数,若含参变量反常积分,在数集上致收敛,则在数集上致收敛证明由,在数集上致收敛,对,个,当时,对切自然数和切,有......”。

8、“.....证明在区间,连续证明首先对任意取定点都存在,使得,,我们只要证明在即可令,,由,,并且无穷级数收敛,所以含参积分在,上致收敛又因为,即对任意固定,,,关于在区间,上是单调递减的,由定理知,函数级数在区间,上是致收敛的定理比式判别法设函数列定义在数集上的正函数列,若对于,......”。

9、“.....对函数项级数致收敛性的发展进行了简单的说明，并回答了为什么要找出函数项级数致收敛性判别法的原因，经过定义函数项级数致收敛性及相关辅助性概念，找到了判别函数项级数致收敛性的判别方法主要有定义判别法柯西判别法判别法阿贝尔判别法狄利克雷判别法狄尼判别法莱布尼茨判别法将其推广后得到了其它些判别法，比如余项判别法积分判别法比式判别法根式判别法对数判别法导数判别法逼近判别法及些推论，旨在完善这方面的理论知识......”。