1、“.....因为我们必须为每个€光那假设和都是非空的。选择任何个和€€阿和不失般性假设大分贝。减少大的分贝。现在表的是平衡的，我们可以感应工业适当的加权树。然后加入与体重分贝边缘抗体。最后，考虑个集这是不均衡的，但就是这样，相应的要求和是偶数。如上所述，我们可以随时更换了使用成本的个边缘的两个要求。因此，我们能满足所有，但用边缘形成个对树需求，然后添加个循环结束的组成部分。最小化模式是强难在本节中，我们证明定理，这个问题最小化模式是强难问题。总结三或舒尔三是三，这样的两个之和等于第三个不同的整数集合。下面的问题可以得到更充分的描述，总结成独特的整数分区的三倍作为。总结三元输入不同的正整数。问能否输入三元分割成总结这个问题类似于数值匹配与目标款项，加里和，第，但额外的令人惊讶的麻烦，条件是涉及的人数必须是不同的。引理问题总结三元是强完全的。本节的大部分将用于证明上述引理，但首先......”。

2、“.....它会产生定理。证明定理假设引理我们给个总结，学位三倍，多项式时间减少。考虑个总结三元上述实例。以作为学位实例。由于硅是不同的正整数，也有规模不小于套平衡。因此，由引理，第十章与为当且仅如果可分为总结三倍现在考虑的问题总结三倍，这显然是在。我们将证明它是强通过给从完全问题限制减少完成，下述，总结每个三元组在的。限制输入组第三季度的元素和个三元组集合在十，这样每个的元素完全相同三元载。问可以划分为三元是在引理限制问题是完全的。证明据了解，这个问题是完全问题，如果每个元素被限制在最多三倍，而不是正好见加里和，第。这是很容易对注册整洁的实例使每个元素恰好是的三倍。很明显，我们能坚持，每个元素在或的三倍。我们可以在分区中的元素正好两个三元组分为三个区块的大小。对于每个块，添加新的元素三个及，。调用新的实例，的。显然，每个的元素是完全相同三三元在和可以被划分在到三倍......”。

3、“.....引理考虑个实例，的限制，其中。季度全令。我们将建设个扩大在的收集，包含三元使得可分为三元在分区，当且仅当可划分为中三元，接着我们将构造个实例秒的你们的总结三倍，其中每个尺寸的异这样的总结恰恰三倍对应的三元组在形成个二分图的顶点部及和顶点窄隙室和的相邻即边发射的正是由于当Ğ吨中的每个顶点度是三，我们可以在多项式时间内找到个合适的边染色。现在，我们每个元素的分割成三份，和，。鉴于特里普尔气相色谱，令是三重观察，在三的分子具有不同的第坐标，以及独特的第二个坐标必须是，而分区集。接着，每个光霞，让的是集合组成的四个三元，和，。设是由碳的收集与所有的Ğ十，因此包含在集合在起的三元的三倍。如果些子集合的是的分区，然后对每个的时候，恰恰的要素之，不包括由三元组在东经外汇，因此必须由在东经企业所得税三倍以下方便，这包括可以被划分在到三倍，当且仅当划分可分为三元在这样就完成了施工红外警戒的部分。下步......”。

4、“.....我们将使用个界定差不多的明智的随机变量的家庭小样本空间。设，令，令，让。有的个子集大小的如果个点的合作,是随机挑选的统，则的是距离的明智的，见。今后这类套可以明确在多项式时间建成北界。给定个点合作宾馆，对每个个，让是非负，二进制扩展•••。当个点的采收有限公司。从随机均匀，然后,是随机变量，以价值观在,个，其中，它们具有以下属性。对于任何集成电路与与，和任何集合,我们Ğ现在，我们可以定义元素的大小为我们总结三元原审年。为清楚起见，我们将写的而不是秒有。然后的和特里普尔，矛盾。二现在假设。然后。现在有个，的有个和有,。同样的三重性，个矛盾。现在我们已经表明，的，同样。因此，这两个和在,。因此和的，或。首先假设，所以。然后两个和的有非零统筹和有。但接下来和的必须具有相同的支持。接下去的，这是不可能的。不失般性......”。

5、“.....然后，和的有非零协调，有，和有，。然后，我们再次工业和的必须具有相同的支持，等的。但现在，三是在，对矛盾。寻找平衡的子集这是个完全测试，如果个家庭中格可持续的竞争整数的机有个平衡的个子集，但我们仍然可能希望为亚群平衡的格局中搜索到最小些启发式方法。在本节中，我们看到，个简单的基于动态规划的方法就能解决的伪多项式时间等问题。红外警戒看到我们如何测试，如果有个平衡的个子集，如果这样工业之另外两个最小相应的总和在的步骤。之后，我们将看到如何找到个平衡的最小的子集，在的步骤。这不是明显的，这些算法将在个最小化的启发式方法具有更好的模式。让。对于每个,的，而且每个设集，为。如果有个相应和子集，让集，的平等，否则。则，的每个为且集，每次的的。我们可以计算所有的值集，在反过来，在每个值的步骤，如下所示。为对于，。如果，我们解释集，如果在上述复发，这是从来没有的情况是，在右边两个术语是......”。

6、“.....但假设这种情况确实存在，而且我们第次见面是在和。那么有两种不同的亚群的相应和和和个不包含。此外和必须是不相交的，由的极小。很明显，我们可以发现这样集合和很快，他们的联盟是需要平衡的设置。现在假设我们希望工业个最小的平衡，如果有子。我们描述动态规划的需要的步骤为基础的方法。和以前样，让。对于每个,的，而且每个型，和,Ĵ，让集为，如果有个大小最多表的个子集与对应和，让集，否则等于。然后再次发生再加上适当的边界条件，使我们能够确定的所有值在集每个值的步骤。对于每个，的是让作为个子集最小尺寸，的相应和如果有这样的个子集，让为，如果不是，让旅馆是第二小的尺寸个子集如果至少有两个这样的子集，让，如果没有。我们已经看到，我们可以计算出所有值集步骤。从这些值集，我们可以计算出在相同的约束，因为所有的价值和，内容如下。要计算的，注意，如果的，组，和如果没有则因为是最小的......”。

7、“.....考虑如何计算学士学位。请注意，如果集接着我们可以找到个子集，大小至多与相应和透过回溯复发。我们也可以说，如果有多个这样的子集检查，如果再发生在右侧，如果过了相应的集我们知道的是这两个术语吨有个独特的解决方案，然后。否则，是最，使得相应的有个以上的解决方案。如果当时的不可能有平衡的个子集。假设现在至少有个非零值学士学位，并设是个值之比达到最小为上旅馆所有的。让我们在与是每个和相应的金额，这样独特的套装转胜。我们可以找到这样集快。以下的索赔将完成我们的证明。索赔该套在与是不相交的，并在转是最小的平衡设置证明索赔假设在满足不同的集合和。记的在基因的总和美国那么这也是转和在。但现在金不。结束语我们已经看到，即使是在削减库存问题非常有限的情况下，它是强难，尽量减少使用不同模式的数量，因此，我们不能期望能够解决伪多项式时间等问题，即使。关键的概念，是个平衡的子集......”。

8、“.....从而考虑寻求这种子集难问题。如需进步阅读以下参考，也是读者所关心的。致谢我非常感谢其他参与在红外警戒中讨论的研究组成员。参考文献,离散应用数学离散应用数学最小化模式下料问题科林麦克迪尔米德统计部门，牛津大学，南公园路号，牛津大学，英国收稿于年月日，接受于年月日摘要在切割存量模式最小化问题，我们希望，以满足尽可能少巨型卷轴卷轴切割各种客户的需求，并进步减少使用不同的切削模式的数量。我们专注于特殊情况，其中任何两个客户卷轴到个巨型合适，但没有三事这个案件的兴趣，部分是因为它是最简单的情况是不平凡的，部分是因为它在实践中可能会出现当个尝试个解决方案，以改善迭代。我们发现，该模式最小化问题是强难的，即使在这种特殊情况下，当最低废液的基本问题是微不足道的。我们的分析主要论点集中在均衡的子集，并提出了涉及亚均衡的启发式搜索方法的方法。科学公司保留所有权利。关键词下料......”。

9、“.....可制造性巨无霸卷，这是后来成为更窄辊切，以满足客户的需求。为了减少浪费，应选择切割方式，以尽可能少的使用客机见。因此，下料问题已基本输入个正整数，不同的正整数的和的正整数的，以及需要的任务是，以尽可能客机的宽度的数为满足客户的卷筒宽度里迪需求对每个，全这是其中的经典问题之。它包含了强烈的完全问题三分区因此即使巨幅大小外面有层氮多项式满足每个客户的卷轴大小国际扶轮扶轮看,因此我们不能指望在合理时间内总是能找到最优解等问题的。每次不同的客户卷轴模式是被削减，在切割机的刀需要重新设置。甲由中并在第届欧洲与产业调查研究组年月有关如何找到办法来解决上述料问题，这进步减少了用于切割不同模式的数量问题见。般情况下这当然是变得越来越难。为了探讨扩展问题雪上加霜，我们在这里考虑个特殊的案件中，尽量减少对客机减少废物，数量基本问题是微不足道的。最小化格局输入的正整数的。任务在切割存量问题......”。