1、“.....将其臵于所需的区间内，从而得到可用于截断的函数图截断位臵由阈值决定归化后的函数可表示为进而，我们通过将式与曲波系数相乘以构建曲波域各尺度上设臵阈值，滤除与噪声相关的系数，再将剩余的曲波系数重构回空间域，实现去噪阈值函数主要包括硬阈值函数软阈值函数线性阈值函数和非线性阈值函数等我们分别对上述种阈值函数进行介绍硬阈值函数参见图，硬阈值函数可表示为式中，为曲波系数，为阈值，为阈值函数处理后的输出结果该阈值函数将大于阈值的系数保留，并将其他系数臵零，软阈值函数参见图，软阈值函数是在硬阈值函数的基础上对大于阈值的曲波系数进行适当的衰减，即图理论磁感应强度时间导数信号及其在不同尺度上的重构结果理论信号粗尺度重构结果第尺度重构结果第尺度重构结果第尺度重构结果图全随区域，由于维傅里叶变换具有周期性，故此映射过程不对信息造成损失经过此步骤......”。

2、“.....当信号特征与曲波基形态拟合较好时，对应的曲波系数较大，反之则较小另外，粗尺度存储着信号的低频信息，随着尺度参数增大，对应信息的频率增高由于有用信号主要成分的变化通常呈现规律性且平滑有序，因此可以用较大的曲波系数对其进行描述，并存放于曲波域内较低频率的尺度中相反，噪声经常呈现随机振荡特征，由较小的曲波系数描述，并存储于曲波域内较细尺度中为检验曲波域中有用信号与噪声的特征差异，对图给出的磁感应强度时间导数理论信号以及图的纯噪声模型进行分析首先，将理论信号转换到曲波域分解尺度数为，并利用各尺度的系数分别进行曲波变换基础上航空电磁数据去噪方法探究航空航天工程论文的曲波空间域内离散曲波的定义与连续曲波的定义相似，因此，我们首先引入内空间变量为的连续曲波我们定义个母曲波为，其傅里叶变换为，其中为连续曲波变换中的窗函数引入相同间隔的旋转角度序列......”。

3、“.....∈的旋转和平移，可以得到该尺度下所有的曲波，由此，空间域内尺度为，方向为，位臵为的曲波可定义为其中，旋转矩阵为函数的曲波系数由与函数∈的内积定义，可表示为因此，曲波变换具有各向异性特征通过对波数域内的信号进行反变换，图中个波数和提出，它是对小波变换和脊波变换理论的继承和发展由于早期曲波变换金字塔式的层式分解导致数据冗余量较大，其计算速度缓慢年和提出了第代曲波变换下面我们将分别介绍离散曲波变换理论曲波变换的算法及基于阈值法的曲波去噪技术波数域内的窗函数离散曲波变换在波数域内具有紧支性，可以将信号转换到不同的尺度和角度分量，定义维波数域内的径向窗˜和角度窗为˜，其中为波数域内的变量，为尺度参数，表示的整数部分，由两个维低通窗的乘积定义，可表示为其中，滤波器满足，我们可以进文噪声的方法和将小波变换应用于航空电磁数据处理中然而......”。

4、“.....在实际应用中存在局限性等提出利用奇异值分解对航空电磁数据进行去噪朱凯光等利用主成分分析法对航空电磁信号进行去噪，去除了高阶主成份中的无关噪声，但低阶主成分中仍然含有部分噪声杜兴中和陆从德提出了种基于奇异值分解和小波变换的航空电磁数据去噪方法，该方法可以同时去除天电噪声和人文噪声，但去噪效果对参数的依赖性较强由上所述，传统航空电磁去噪方法虽然取得定的效果，但均存在局限性为了弥补这些现有方法的不足，本文提出基于曲波变换的航空电磁数据去噪技术，并使用阈值函数代替传统阈值函数以改善去摘要航空电磁法作为种地形复杂地区资源探测的有效方法，近年来得到了广泛的应用然而，由于系统所处的动态环境，噪声干扰严重为了改善航空电磁数据质量，提高地下电性反演的准确性，需要研发相关去噪技术传统航电去噪大多针对特定噪声或单测线上的信号进行处理......”。

5、“.....可以在对噪声精细分析的基础上进行有效去除，同时还保证了整个测区内信号的相关性进而，我们提出阈值函数对传统阈值函数进行改进，以进步改善去噪效果为了验证曲波变换方法对航空电磁数据去噪的有效性，将曲波变换和传统去噪方法分别应用于理论模型和实测数据进行对比试验证明本文曲波变换用于航空电磁数据去噪具有明显的优原始信号成像结果去噪后信号成像结果曲波变换去噪后信号成像结果结论本文我们利用曲波变换和阈值函数成功实现了航空电磁数据去噪较之于传统方法依据噪声的随机性进行加权平均去噪，或者基于信号和噪声频谱成分差异进行去噪比如和方法，曲波变换的多尺度性使得它可以在各尺度上对信号和噪声进行分离和去除虽然小波变换也具有多尺度特征，然而其方向参数有限相比之下，曲波变换方向参数健全，可对复杂维信号进行有效刻画......”。

6、“.....进而通过提取部分小值有效系数，可以更完整保留信号中的细节成分因此，曲波变换结合阈值函数特别适合去除航空电磁数据中的随机噪声和其文引入均方根误差和平滑度两个参数来定量判别曲波变换和的去噪效果均方根误差定义为式中，为原始信号，∼为去噪后的重构信号，表示数据范围体现了去噪后重构信号与原始信号之间的偏差越小，两者偏差越小陶珂和朱建军利用平滑度对维信号的去噪效果进行了评价，我们将其推广到维情况并定义平滑度为Ν∼，∼，∼，∼，∼，Ν式中，为原始信号，为去噪后的重构信号，表示数据范围体现了去噪后重构信号的平滑程度，值越小，数据越平滑在去噪后的重构信号不失真的前提下，我们认为平滑程度越高去噪效果越好换句话说，和均较小的数据......”。

7、“.....我们将图中的原始观测数据转换到小波域，并将其分解成个尺度得到高频信息细节分量和低频信息近似分量图展示了小波域内第尺度的近测航空电磁数据去噪问题该数据是由公司在爱尔兰和地区利用时间域系统观测得到的测线总长度，线距为，测线方向，发射电流为方波，峰值为到了个时间道的归化垂直分量数据我们以第时间道为例进行去噪，图给出了原始数据首先将数据转换到曲波域的个尺度内，第尺度的分解角度数为，第尺度的分解角度数为......”。

8、“.....通过对第尺度信号重构，响应的大致轮廓已较为清楚第和第尺度存在大量的有用信息和少量噪声从第尺度开始，噪声的比例逐渐增大，主要表现为沿测线的系列跳点，同时周边界上残留部分有用信号我们使用阈值函数进行分尺度去噪考虑到第到第尺度内噪声成分较少，经设定曲波变换基础上航空电磁数据去噪方法探究航空航天工程论文具有方向性的残差理论和实测航空电磁数据处理结果验证了方法的有效性参考文献曹静杰，杨志权，杨勇等石油物探，杜兴忠，陆从德法中国，李继伟，刘晓兵，周俊骅等阈值迭代面波压制石油地球物理勘探，齐少华，刘启元，陈辉等地球物理学报，陶珂，朱建军大地测量与地球动力学，王丽萍定理中央民族大学学报自然科学版，张恒磊，刘天佑，张云翠域和空间域的倾角扫描噪声压制方法石油地球物理勘探，朱凯光，王凌群，谢宾等中国有色金属学报，王宁，殷长春，高玲琦，苏扬，刘云鹤......”。

9、“.....基金国家自然科学基金项目北京市科技计划联合资助曲波变换基础上航空电磁数据去噪方法探究航空航天工程论文波变换去噪后，局部干扰得到有效压制，各时间道曲线不再出现交叉重叠的反常现象，符合时间域航空电磁信号衰减规律相比之下，去噪结果出现局部过度平滑现象同时，对比均方根误差可知，去噪后的数据与原始数据偏差较大图加拿大地区实测数据去噪结果对应于半正弦波的前时间道数据去噪结果对应于梯形波的后时间道数据去噪结果为了更深入了解曲波变换的去噪效果，我们对原始数据及和曲波变换去噪后的信号分别进行成像图给出了成像结果由图可以看出曲波变换去噪后的数据成像能很好地划分地下电性分界面，特别是两个良导层中间的高阻层得到了有效识别相比之下，由于去噪造成数据过度光滑，地下电性界面难以区分图加拿大地区实测数据成像结果值函数去噪......”。