1、“.....对序列空间中的框架界进行估计准备知识文中是个给定的到了完善与发展，参见文献然而，在实际应用中，由于输入输出数据和滤波器都是离散的，所以基于框架的算法实现都是在数字环境中完成的基于数字的框架又名为离散空间中的框架......”。

2、“.....即使可以得到，也引言框架是由等在年研究非调和分析时提出的，但当时却没有得到数学界的认可上世纪年代末，等发现ℝ中的函数在框架下可以展开成类似于标准正交基的级数，至此框架才真正进入学者们的视野文献中指出，与传统的正摘要在实际应用中，框架界的比值是滤波器设计的个非常重要的参数，它关系着整个系统的最终性能般来说，框架界的比值越小......”。

3、“.....常结果得证参考文献鲁大勇，樊启斌框架提升的两种方案数学物理学报，李登峰，田小现，王励冰小波型框架的性质河南大学学报自然科学版，鲁大勇，安岩空间中平移框架的几个结果河南大学学报自然科学版，李艳婷，李登峰广义框架的，根据互相关性的定义......”。

4、“.....和为常数则生成的界为和的框架，当且仅当公式证明必要性若−生成的界为和的框架，则表达式再由引理知上式如上记和为公式若˜−，则对任意的∈有以下结论成立公式证明任取∈，易知˜的范数为矩阵结合和的定义，有矩阵即公式又知公式结合式和式得公式方面，利用结论˜−，矩阵互相关性视域下对框架界估计的研究代数论文似对偶框架的构造及扰动河南大学学报自然科学版，韩玉齐......”。

5、“.....基金国家自然科学基金河南省教育厅科技攻关项目河南省科技厅项目矩阵互相关性视域下对框架界估计的研究代数论文生成的框架，矩阵，和ν定义如上如果ν，任意的满足，∈，则有公式证明任取满足，∈矩阵根据和ν的定义，得公式而表达式再由不等式知公式将该不等式代入式得表达式根据中范数的定义，期望是的框架......”。

6、“.....显然这是不成立的利用˜定义矩阵为根据定义易知⋯且，˜≠进步，对任意的矩阵，∈和∈，若，可类似地定义ν，−−∣∣∣∣定理设∈，等价于公式而−⟨，⟩的等价形式如下矩阵若ˆ的只有第个分量是，其它分量都为零，则得ˆ−从到依次取值，可得式成立充分性若式成立，显然有式成立，易得期望结论设∈，生成的框架，定义矩以及关于长度为的向量的范数不等式......”。

7、“.....利用结论−˜−，类似地可以得到∣∣˜∣∣下界的结论矩阵综上，公式将式代入到式可得表达式设∈，下面定理简单刻画了，则称的上下界进行讨论方面，矩阵另方面，矩阵其中表示单位矩阵，表示元素都为的矩阵定理是个正整数满足⋯，∈，且⋯，是的个框架矩阵，˜，以及矩阵˜的互相关性˜定义矩阵互相关性视域下对框架界估计的研究代数论文记为，如果把矩阵的行向量规范化......”。

8、“.....具体形式如下公式需知˜≠，若假设矩阵的第行元素组成的向量的范数等于零，易得该行每个元素都为零，即的第个分量都等于零又由于⋯，中的点列若存在常数和使得公式对任意的成立，则∈的个框架，并分别称和为该框架的下和上框架界主要结果设是个正整数满足⋯，−，⋯，−∈，则ⅰˆˆⅱ⟨，⟩−ˆˆ正整数，ℤ表示全体整数集合......”。

9、“.....∈若，∈，则称是以为周期的序列记在上定义序列空间公式在上必须附加许多条件，参见文献这就要求研究离散空间序列空间中的框架以及其与连续空间中框架的联系在过去十年里，关于序列空间中框架的研究已经有了些重要结果通过使用和给出的离散幂增长空间，等构造出了ℤ上交小波相比，框架般是冗余的，这种冗余性可以导致鲁棒性......”。