1、“.....则的反弹速度为−−若有，则与墙壁分别只发生次碰撞，总碰撞次数为次若墙壁的碰撞物块之间的碰撞过程遵守动量守恒定律同时，由于是完全弹性碰撞，恢复系数等于，碰撞后的分离速度等于碰撞前的接近速度下面根据两个物块质量的大小，分成和两种情况来讨论图题图当间过程通常都很复杂......”。

2、“.....深入探究物块的碰撞次数问题如图所示，物块和置于光滑的水平面上，摘要根据动量守恒定律和机械能守恒定律深入探讨了物块碰撞次数问题特别是当物块质量的比值是的非负整数次方时，碰撞次数刚好和圆周率的前几位数字相同利用速度相图将碰撞过程直观地描述出来......”。

3、“.....漆安慎，杜婵英力学版北京高等教育出版社，路峻岭，秦联华大小钢球对心碰撞实验大学物理，同济大学数学系高等数学下册版北京高式可得，当时，总碰撞次数满足−−−Ν当时，式可简化为综上所述，当和的质量之比为时，总碰撞次数刚好和圆周率的前几位数字相同总结物块与竖直直线的夹角为，易得−−−，或−−−根据圆周角定理......”。

4、“.....每发生次碰撞，就增加段弧长为的圆弧设圆的半径为−的的直线跳跃到圆上的点，碰撞墙壁并被反弹，的对应速度沿竖直直线跳跃到点，依次类推这些交点沿直线的跳跃过程就反映了碰撞过程，每碰撞次就跳跃次因此，碰撞的总次数就等于交点跳跃的总物块碰撞次数研究分析物理教学论文教育出版社，程军，孙辉关于物块碰撞次数的探讨大学物理......”。

5、“.....给出了能够直观描述碰撞的动力学过程的速度相图，并结合理论推导对上述有趣的结果进行了解释参考文献赵亮原子汤姆孙模型中粒子散射角的计算大学物理，贾洛武康普顿的是机械能守恒......”。

6、“.....该直线与圆墙壁之间的维完全弹性碰撞遵守动量守恒定律和机械能守恒定律本文基于两大守恒定律详细讨论了物块碰撞次数问题尤其是，当与的质量之比是的非负整数次方时，总碰撞次数刚好和圆周率的前几位数字相同，因此总碰撞次数须满足......”。

7、“.....−−−，式可化为−−−−−−将式代入次数图中方程为−−−的直线是的分界线当交点跳跃到处于阴影区域的那小段圆弧上时，物块的速度满足关系，碰撞将终止由于倾斜直线的斜率都是−−−−，设倾斜直交点表示在这次碰撞后唯的对应速度而竖直直线与圆的交点则反映出和墙壁碰撞后被原速率反弹在初始状态时，静止，向右运动......”。

8、“.....的对应速度沿斜率为−−物块碰撞次数研究分析物理教学论文的具体数值不影响接下来的讨论为了探究碰撞次数与圆周率的联系，可以建立由的速度构成的维速度空间，将遵守守恒定律的碰撞过程用速度相图直观地描述出来，如图所示图物块的速度相图图中的圆反映......”。

9、“.....即它们的对应速度和满足方程组，联立式，可得−−−−−−−与墙壁第次碰撞后的速度为−−−−−有，则与墙壁碰撞反弹后，会再次与碰撞，设和第次碰撞后，速度分别为，则有，解得−，−时已知与第次碰撞前的速度分别为和第次碰撞后的速度分别为，取水平向右为正方向，则有，解得，−，碰撞后......”。