1、“.....它表示和的存在导致第个布拉伐格子中原子的态的移动⟨ϕϕ⟩−〈ϕϕ〉如图ϕ⟩ϕ⟩〈ϕϕ〉ϕ〉〈ϕϕ〉ϕ〉其中第项中的算符可以替换成本征值，并且使原子轨道的正交归关系⟨ϕϕ⟩，〈ϕϕ〉，和⟨ϕϕ⟩〈ϕϕ〉，将式化简为ε−⟨ϕϕ⟩ε〈ϕϕ〉⟨ϕϕ⟩〈ϕϕ〉由于只考虑最近邻原子相互作用，式中求和的第项固体物理教学中Ⅰ多轨道紧束缚近似研究物理教学论文能项和原子势能项ϕ分别是孤立原子中电子的能级和波函数形成维晶格后，其哈密顿量可以写为这里表示晶格周期势与原胞中两个原子的势能差而≡和≡分别定义为第个布拉伐格子中第个和第个原子的势能利用布洛赫定理，可以将晶格中电子的波函数展开成为不同布拉伐格子中原子轨道波函数的线性叠加，即⟩的密度泛函计算中，就是找到组合适的基组，对角化展开在这组基上的哈密顿矩阵......”。

2、“.....详细讲解多轨道紧束缚近似的普适方法，让学生能够从更全面的角度理解紧束缚近似的物理图像，最后对紧束缚近似方法进行些般性讨论维双原子链能带的紧束缚近似求解本文选用物理学大题典第版第册固体物理及物理量测量题为例，书中给出的解答缺乏清晰的解释，也存在些不合理的地方本文将给出个严格的基于紧束缚近似的解答该题题干原子能级展宽成为准连续的能带深刻理解紧束缚近似背后的物理图像和机制，对于掌握能带理论，认识晶体中电子性质具有重要的意义目前常用的固体物理教科书上大多采用简单布拉伐格子即每个原胞仅包含个原子，且每个原子只考虑个原子轨道的例子进行讲解例如简单立方晶格中的轨道形成的能带，或者面心立方晶格中的轨道能带这种情况下哈密顿量退化成个标量，而能带可以通过简单的布洛赫求和直接得到在黄昆原著韩汝琦改编的固体物理学中讨论了简单立方摘要紧束缚近似是固体能带理论教学中的重要内容......”。

3、“.....导致教学中对哈密顿量能带布洛赫波函数等概念缺乏深刻理解本文采用了维双原子链模型，详细阐述了如何求解多轨道紧束缚近似下晶体的能带，并借助构建哈密顿量的数学过程，展示了紧束缚近似下原子能级微扰近邻原子轨道交叠积分等物理图像，讨论了能带走势与布洛赫波函数的关系，以及影响能带个数与能带宽度的因素关键词固体单可以手算解答的例题例如维角密排结构中和形成的能带，其中会涉及到轨道结合成键与键的交叠积分值得注意的是，如果是维方格子，尽管轨道也会形成键与键，但轨道和轨道始终正交，从而使得每条能带都是由个轨道形成的石墨烯具有维蜂窝结构，每个原胞中含有两个碳原子，由于其中的轨道与其它轨道及轨道都正交，因此可以独立地形成石墨烯的能带，这是另个多轨道紧束缚近似很好的例子参考文献阎守胜固体物理基础和反键态ε......”。

4、“.....能带个数是由个原胞内的总电子轨道数决定的，即原胞内原子的个数乘以每个原子上轨道的个数因此体系越大，轨道越多，求解出来的能带就越多例如同样都是考虑和轨道，具有面心立方结构的金属铝可以求解出条能带，而金刚石会有条能带更进步，这些能带都是由分立的原子轨道，通过相互作用展宽而形成正如上述维双原子链的例子中，如果和都趋于无穷大，则体间形成了成键态，能量相比布里渊区中心处有所降低因此从波函数节点的角度，使用化学键的语言，描述了双原子链的能带的走势，理解了能带的极值点图布里渊区中心与边界波函数示意波函数周围的实线和虚线分别代表不同的相位，虚线框表示晶格的个原胞在本节的最后讨论两个极端情形第种情况是，此时双原子链中所有原子距离均相等，从而使两个交叠积分也相等，两个能带相交在，ε，带隙消失这本质上回归到了原胞长度为的维单原子链的能带因此很容易理解......”。

5、“.....布洛赫波调幅平面波的波长是无限大换句话说，所有布拉伐格子中的波函数都是相同的，如图所示，其中原胞内和原胞间都形成成键态，从而使该波函数对应的能量最低仍然是这条能带，对于在布里渊区边界处的点，即，布洛赫波的波长刚好是，如图所示此时个原胞内的两个原子仍然是成键态，而相邻原胞间的波函数由于相位相反，在原胞之间存在节点，形成原胞之间的反键态，因此该布洛赫函数固体物理教学中Ⅰ多轨道紧束缚近似研究物理教学论文北京北京大学出版社，胡安，章维益固体物理学版北京高等教育出版社，黄昆原著，韩汝琦改编固体物理学北京高等教育出版社，蔡建华紧束缚近似大学物理，林鸿生，章世玲，王冠中，等物理学大题典固体物理及物理量测量版北京科学出版社，苏汝铿量子力学上海复旦大学出版社，袁喆固体物理教学的若干思考多轨道紧束缚近似大学物理......”。

6、“.....例如电导率和热导率等有重要的作用小结本文以个简单的维双原子链的紧束缚模型为例，详细讲解了多轨道紧束缚近似求解能带结构的普适性方法，并通过对能带和布洛赫波函数的分析，使用较为直观的化学键的语言，阐明了晶体中能带走势的物理含义，最后说明了紧束缚近似图像中包含着能带个数和能带宽度的物理图像这些直观而深刻的概念，对于固体物理教学中的重点问题，即能带理论的理解是十分有益的对于多轨道紧束缚模型，还可以设计出些较为简两条能带ε−−−−−−−−−−−−−−−−−−−εε−−−−−−−−−−−−−−−−−−ε值得指出的是，式的本质就是寻找组基矢，把布里渊区个点的哈密顿量展开在这组基矢上，求解，即对角化哈密顿量得到能带若体系中包含更多的轨道，就需要更大的基矢，因此哈密顿量的维度就会更大，解出的本征值能带个系的能量回归到孤立原子轨道的能量......”。

7、“.....也可以看出能带宽度是由近邻原子间交叠积分的大小决定的交叠积分的物理含义是个原子轨道上的电子在晶格势的作用下，跃迁到邻近原子轨道的几率幅交叠积分越大，则代表原子轨道相互作用杂化越强，则能带更宽，而能带对晶格动量的导数，即电子群速度也就越大，因此电子在晶格中显示出更好的巡游性质这个布洛赫电子巡游图像对于理解晶体中电ε由于取了冗余的原胞，把同条能带折叠在了长度较小的布里渊区内这里值得注意的是，当交叠积分不相等，无论哪个更大，都不会发生能带的翻转，也就是说，图中的两条能带之间的带隙不可能为负值即上面的能带在布里渊区些区域能量比下面的能带更低，这是式和中的根号保证的另种极端情形是，此时晶格退化成无限多个孤立的双原子分子此时不同原胞间的交叠积分为零，因此能带式和退化成两个与无关的分子轨道能级......”。

8、“.....解得其本征矢为，−，因此波函数在个原胞里的两个原子上具有相反的相位，在原胞内存在波函数的节点，即形成原胞内的反键态在布里渊区中心，该能带的波函数如图所示，此时原胞内和原胞间都形成反键态，因此能量较高而当考虑这条能带在布里渊区边界处，由于布洛赫波的波长为，相邻原胞的波函数存在的相位差因此尽管原胞内是反键态，原也就更多对能带和布洛赫波函数的讨论现在对上述求解的能带进行些物理图像方面的讨论首先选择，把计算出的结果画在图中可以看出，这两条能带在布里渊区中心和边界出现能带的极值，带宽均为能带之间存在能量为的带隙对于能量较低的能带，解得其本征矢为因此波函数在个原胞里的两个原子上具有相同相位，类似氢分子中的成键态布洛赫定理告诉我们，晶体中的波函数是调幅平面波，其波长由晶格动量决定......”。

9、“.....可以把式写成线性齐次方程ε为了保证式和式存在和的非平庸解，必须使线性齐次方程组的系数行列式为零，最终求解出示，由于整个晶体关于原子和原子连线中点即是左右对称的，因此可以把式改写为−∫ϕ−∫−ϕ⟨ϕϕ⟩−∫ϕ∫ϕ〈ϕϕ〉上式第行中把所有晶格中原子位置坐标做了镜像操作，而晶体关于原点对称性保证了式中的等价性可以通过图和直观地看出这里应用了量子力学中的结论，即维波函数可以用实数来仅当时不为零，它代表和的存在对第个布拉伐格子中原子的态能级的微扰，将其定义为⟨ϕϕ⟩−〈ϕϕ〉式中求和的第项代表存在原胞中原子和晶格势时，电子从ϕ态跃迁到ϕ态的几率幅由于仅考虑最近邻相互作用，ϕ态电子只和ϕ态或者ϕ态存在交叠积分，如图所示......”。