1、“.....是,的极大值点，极大值为,。二元函数的条件极值拉格朗日数乘法拉格朗日数乘法设二元函数,和,在区域内有阶连续偏导数，则求,在内满足条件,的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数其中为常数的无条件极值问题。于是，求函数,在条件,的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为构造拉格朗日函数其中为常数由方程组,解出，其中点,就是所求条件极值的可能的极值点。拉格朗日数乘法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求出来的点是否为极值点，还需要加以讨论。不过在实际问题中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点。例经过点的所有平面中，哪个平面与坐标面在第卦限所围的立体的体积最小并求此最小体积。解设所求平面方程为,因为平面过点，所以该点坐标满足此平面方程，即有设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为，则原问题化为求目标函数在约束条件下的最小值作拉格朗日函数求函数的各个偏导数，并令它们为......”。

2、“.....且函数有惟的驻点，故为所求，即平面与坐标面在第卦限所围物体的体积最小，最小体积为。函数的最值函数极大值和极小值概念是局部性的如果是函数的极值点那只就附近的个局部范围来说,是的个最大值如果就的整个定义域来说，不定是最大值。关于极小值也类似。所以在求函数最值时，般在求出各个驻点的值后还要求出边界上的值。设在,上连续，那么在,上定取得最大值和最小值，若在,内可导或只有个别的不可导点，则可以用以下方法求出和及相应的最大值与最小值。首先求出的解，即求的驻点算出在这些点的函数值若有不可导点，算出在这些点的函数值求出，。最后比较所有这些函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。类似可推广到二元函数。例已知为实数,。若，求在，上的最大值和最小值。解由原式得,所以由得,此时有,。由得或当在,变化时的变化如下表极小极大在,上的最大值为,最小值为。例设，求的最大值。解是分段函数，表达式为,,......”。

3、“.....连续,求导得由此得,时，在,单调增加,时，在,单调减少。故在,上的最大值就是在,上的最大值。在,上解，即，得。又，因此在,上的最大值为。单调性在不等式中的应用设函数在定义区间Ⅰ上连续，在Ⅰ内可导，如果在定义区间Ⅰ内那么函数在Ⅰ上单调增加如果在定义区间Ⅰ内那么函数在Ⅰ上单调减少，这是函数的单调性，也是应用在函数不等式解题中中最基本性质。结论设在区间,内可导且满足如下条件,时，则有,时，则有。结论设在区间,内可导,且则有。结论设在区间,内可导,且则有。结论设在区间,内可导，且,,，，则有。例求证证明令,函数的定义域是,。令，解得。当时,,当时,，又，故当且仅当时，取得最大值，最大值是。所以,即例当时,证明不等式成立。证明令,则有......”。

4、“.....所以，即，所以为单调递增函数即。例设在区间,上可导且,。求证证明将上限改写成，设辅助函数为则,因为，所以单调递减，故,所以单调递减。故其中，，所以单调性在求方程解问题中的应用利用函数的单调性结合图象能直观地研究图象的交点，假若能将问题转化为两函数的交点问题，这类问题便可以轻松获解。例求解方程解令因为为在,上的单调递增连续函数，且有,即在,上只有个根。又把代入时有，即原方程只有个根。例当时，解方程。利用性质，若函数是单调递增函数，则函数与它的反函数图象的交点必在直线上。解设则有,因为，所以站途径中转站到工厂所需总费用为求导得令，即得,解得，舍去，且是函数定义域内的唯驻点，所以是函数的极小值点，而且也是函数的最小值。由此可知，车站建于之间并且与相距处时，运费最省......”。

5、“.....进而归纳总结函数单调性在解决数学问题上的应用，最后结合实际生活中的些问题，从而对函数单调性的应用有了深入理解。本文的创新点在于不仅对单调性在解决数学问题中的应用进行了分类归纳，更深入例举了函数单调性在解决实际问题中的应用，像如何做到使材料最省利润最大，优化路径等。对于学习者来说，通过阅读这篇论文不仅能系统地掌握单调性的相关知识，还能了解单调性在解决实际问题中的作用，开阔视野，增加其对单调性的学习兴趣。展望未来，随着相关理论基础的不断充实，函数单调性将会在解决实际问题中发挥更大的作用，诸如计算飞船下落回收时间，计算物种成长繁殖速度问题等，这些在目前看来尚不能精确掌握的问题都会迎刃而解。致谢弹指挥间，大学的学习生活即将流逝。在这四年里，幸运的让我遇到了这么多令我受益匪浅的老师同学，正是在他们的关怀帮助下，我才能从懵懂之童,成长到今天,才能顺利的完成这次的毕业论文。首先我要感谢我们的学校和老师以及我在同个窗檐下学习奋斗的兄弟姐妹，为我提供了良好的教育环境和良好的学习氛围，使得我能够学习成长到今天。更感谢我含辛茹苦的父母亲，他们都是农民......”。

6、“.....他们不能给予我荣华富贵，但是他们是我最亲爱的人，他们给予了他们能够给予我的父爱母爱，给予了我做人的最基本的道理。他们辛劳生，把希望都寄托在了我的身上，是他们在物质上的资助和精神上的鼓励，成就了我的今天。非常感谢我的毕业设计指导老师刘倩老师对我的毕业论文进行了悉心的指导，并提出了很多的宝贵意见。毕业论文初期，论文要从零开始，是老师们的悉心指导，使我顺利完成了论文设计。感谢老师对我论文的指导，帮我解决了些疑难问题，令我豁然开朗柳暗花明。再次向所有关心我支持我帮助我的师长亲人朋友致以最真的谢意,参考文献王宜田谈谈数学解题教学中的题多用科技信息张军例谈函数单调性应用常见题型试题与研究新课程坛万保军巧用函数单调性解题例高中数理化王玫娟常考常新的函数单调性问题解析教育实践与研究赵冰泉函数单调性的九大应用阐释中学生理科月刊高中版叶立军初等数学研究华东师范大学出版社,王亚辉数学方法论问题解决的理论北京大学出版社,薛金星高中数学解题方法与技巧第三版北京教育出版社,李美珍数学解题技巧的培养教学法研究在,上是增函数，即原方程与方程同解......”。

7、“.....解之得显然，又因为，所以，故而,均为原方程的解。单调性在化简求值方面的应用对于求代数式的值，可视为相应函数的个特殊值，再利用该函数的单调性，把函数值的相等转化为自变量的相等，有时能巧妙获解。例设,为实数，并满足，求的值。解由，所以,都是方程的根。构造方程，因为在,恒成立，所以在,内为增函数，所以方程只有唯解，即，所以有。例设实数,满足条件,求的值解设，有,,因为即即同理可知又,令即为单调增函数且为奇函数，所以，即有。单调性在比较大小方面的应用函数单调性用于比较大小般性原则在同个函数中有，当函数在区间内是增函数时有当函数在区间内是减函数是时有。函数单调性运用于比较大小的般做法首先运用导数等方法判断函数在区间的单调性，然后利用以上性质在严格单调的区间内比较大小。例设,且，比较......”。

8、“.....即有因为，不妨设，在,上单调递增，则，所以，即。函数单调性在实际生活中的应用函数单调性在实际中的应用主要反映在最值极值上，如材料优化资源整合利润最大化路径选择等。单调性在材料合理利用中的应用例圆柱形金属饮料罐的容积定时，它的高与底面半径应怎样选取使所用材料最省解金属饮料罐高为，底面半径为，材料最省即是表面积最小，且表面积是关于和的二元函数，则由常数定值，则为常数令,则,代入，得，即。例横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比，并和高的平方成正比，要将直径为的圆木锯成强度最大的横梁，问断面的宽和高应该各是多少解设断面的宽和高分别是和，则横梁的强度，又，故求的最大值即可。由,得，函数在,上连续，故必有最大值和最小值，则当变化时的变化情况如下表表递增极大值递减由表可知。单调性在生产利润中的应用例生产种产品需要投甲乙两种原料和单位吨分别是它们各自的投入量，则该产品的产出量为单位吨，其中，且。两种原料的价格分别为与单位万元吨。试问......”。

9、“.....两种原料各投入多少可以使该产品的产出最大解由题设只应求函数在条件之下的最大值点，应用拉格朗日乘数法构造拉格朗日函数，为求的驻点，解方程组由方程，可得，解得代入有，解得，。因驻点唯，且实际问题必有最大产出量，故在两种原料投入的总费用为万元时，这两种原料的投入量为吨，吨，可使该产品的产出量最大。例公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入万元与电视广告费万元及报纸广告费万元之间的关系为。在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略若提供的广告费用为总额万元，求相应最佳广告策略。解利润函数为,求函数的各个偏导数，并令它们为，得方程组解得，。则,为,惟的驻点。又由题意可导且定存在最大值，故最大值必在这惟的驻点处达到。所以最大利润为,万元。因此，当电视广告费与报纸广告费分别为万元和万元时，最大利润为万元，此即为最佳广告策略......”。