⊥平面求二面角的余弦值组能力提高四川如图，在正方体中，点为线段的中点设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是如图，在正方体中，点在直线上运动时，有下列三个命题三棱锥的体积不变直线与平面所成角的大小不变二面角的大小不变其中真命题的序号是已知正方体的棱长为，分别为的中点，则点到平面的距离为如图，在三棱锥中⊥，点为的中点求二面角的余弦值在直线上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置若不存在，说明理由学生用书答案精析第讲立体几何中的向量方法高考真题体验方法补成正方体，利用向量的方法求异面直线所成的角由于，三棱柱为直三棱柱，且，可将三棱柱补成正方体建立如图所示空间直角坐标系设正方体棱长为，则可得方法二通过平行关系找出两异面直线的夹角，解得或是的中点或是的中点在直线上存在点，且当是的中点或是的中点时，使得与平面所成角的正弦值为第讲立体几何中的向量方法课标全国Ⅱ直三棱柱中，分别是，的中点则与所成角的余弦值为安徽如图所示，在多面体中，四边形均为正方形，为的中点，过的平面交于证明∥求二面角的余弦值以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上热点利用向量证明平行与垂直设直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则有线面平行∥⇔⊥⇔⇔线面垂直⊥⇔∥⇔⇔面面平行∥⇔∥⇔⇔面面垂直⊥⇔⊥⇔⇔例如图，在直三棱柱中，面和面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点运用向量方法证明∥平面平面⊥平面思维升华用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的条直线和平面内的条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线∥，只需证明向量∈即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外跟踪演练如图所示，已知直三棱柱中，为等腰直角三角形且，分别为的中点求证∥平面⊥平面热点二利用空间向量求空间角设直线，的方向向量分的余弦值试问线段上是否存在点，使与成角若存在，确定点位置若不存在，说明理由思维升华空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图论证推理，只需通过坐标运算进行判断解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解等，所以为使问题的解决更简单有效，应善于运用这方法跟踪演练如图所示，四边形是边长为的正方形，⊥平面，⊥平面，且，为的中点求异面直线与所成角的余弦值在线段上是否存在点，使得⊥平面若存在，求线段的长若不存在，请说明理由如图，五面体中，四边形是矩形，∥，⊥平面，且，分别为的中点求证∥平面求二面角的余弦值提醒完成作业专题五第讲二轮专题强化练专题五第讲立体几何中的向量方法组专题通关已知平面，点是空间任意点，点满足条件，则直线与平面平行是平面的斜线是平面的垂线在平面内如图，点是单位正方体中异于的个顶点，则的值为或任意实数如图所示，正方体的棱长为，分别为和上的点则与平面的位置关系是相交平行垂直不能确定如图，三棱锥的棱长全相等，为的中点，则直线与所成角的余弦值为已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于在棱长为的正方体中分别为，的中点，那么直线与所成角的余弦值为在直角坐标系中，已知现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为已知别为，平面，的法向量分别为，以下相同线线夹角设，的夹角为，则线面夹角设直线与平面的夹角为，则，面面夹角设平面的夹角为，则，例江苏如图，在四棱锥中，已知⊥平面，且四边形为直角梯形，求平面与平面所成二面角的余弦值点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长思维升华运用空间向量坐标运算求空间角的般步骤建立恰当的空间直角坐标系求出相关点的坐标写出向量坐标④结合公式进行论证计算转化为几何结论求空间角注意两条异面直线所成的角不定是直线的方向向量的夹角，即两平面的法向量的夹角不定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化跟踪演练福建在平面四边形中⊥，⊥将沿折起，使得平面⊥平面，如图所示求证⊥若为中点，求直线与平面所成角的正弦值热点三利用空间向量求解探索性问题存在探索性问题的基本特征是要判断在些确定条件下的数学对象数值图形函数等是否存在或结论是否成立解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设否则，给出肯定结论例如图，在直三棱柱中，是的中点求证∥平面求二面角最后，故选分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，，，又⊥是平面的法向量，且⊄平面，∥平面设，则，选如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为，则，则为侧面的法向量，由解析以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，故，，，所以，解析如图为折叠后的图形，其中作⊥，⊥，则，两异面直线所成的角为，故由，得，解析设正方体的棱长为，中，故正确中，由于⊥，故正确中与两异面直线所成的角为，但与的夹角为，故不正确④中故④也不正确证明以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，可得根据选项可知正确解析中，∥平面，上任意点到平面的距离相等，所以体积不变，正确中，在直线上运动时，直线与平面所成角和直线与平面所成角不相等，所以不正确中，在直线上运动时，点在平面中，既二面角的大小不受影响，所以正确解析以为坐标原点，所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，如图所示，则设平面的个法向量为，则，即，令，则又，点到平面的距离为解，≌⊥，⊥，又∩，⊥平面，且两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则设平面的个法向量为，，取，平面的个法向量为，设二面角的平面角为，且为钝角二面角的余弦值为方法存在，是的中点或是的中点设∈，，解得或，或，在直线上存在点，且当是的中点或是的中点时，使得与平面所成角的正弦值为方法二存在，是的中点或是的中点设，则∈，分别是，的中点，，，∥，即∥，又⊂平面，⊄平面，∥平面由可知⊥，⊥，即⊥，⊥又∩，⊥平面⊂平面，平面⊥平面证明由⊥平面，⊂平面，故⊥由，得为等腰直角三角形，故⊥由∩，垂直于平面内两条相交直线，故⊥平面解由知，为等腰直角三角形如图，过作垂直于，易知，又已知，故由得∥故以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，设