知识要点解读平面直角坐标系的选取原则以已知定点为原点以已知定直线为坐标轴轴或轴以已知线段所在直线为坐标轴轴或轴，以已知线段的中点为原点以已知互相垂直的两定直线为坐标轴如果曲线或轨迹有对称中心，通常以对称中心为原点如果曲线或轨迹有对称轴，通常以对称轴为坐标轴轴或轴尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上，或者让尽量多的点在坐标轴上对求曲线方程的五个步骤的四点说明在第步中，如果原题中没有确定坐标系，首先要建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单第二步是求方程的重要环要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意点有关的等量关系，列出几何等式此步骤也可以省略，而直接将几何条件用动点的坐标表示在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“失解”或“增解”第五步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明如些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中或的取值范围予以剔除对求曲线方程的三点说明求曲线方程时，由于建系的方法不同，求得的方程也不同般设圆，过原点作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程参数法求曲线方程解析方法直接法设为过的条弦为其中点，则⊥，设中点为而，，所以，化简，得为所求轨迹方程，知，动圆圆心的轨迹方程为所以线段的中点坐标是它满足方程综上所述，点的轨迹方程是解法二设则易知两点的坐标分别是连结因为⊥，所以，即,因为⊥，所以而所以整理得，因为当时，的坐标分别为作两条互相垂直的直线，若交轴于点，交轴于点，求线段的中点的轨迹方程解析解法如图所示，设点因为为线段的中点，所以，，化简得直角顶点满足的方程为总结反思坐标系的选取，般将定点或定直线选在坐标轴上，原点有时选在定点处较为方便，有时也要考虑“对称”性如此例过点,形可知⊥，所以，则，化简得直角顶点满足的方程为方法三由是直角三角形可知，所以直角三角形可知，即，化简得依题意可知故所求直角顶点满足的方程为方法二由是直角三角求直角顶点满足的方程解析以所在直线为轴，中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有设顶点，求曲线的方程方法由是离的乘积等于的点的轨迹方程应为，即所给问题不具备完备性结论错误中线是条线段，而不是直线，应为，所给问题不具备纯粹性结论错误已知为中点，则中线的方程为解析过点,且垂直于轴的直线方程为结论错误因到轴距离为的点的直线方程还有个，即不具备完备性结论错误到两坐标轴的距论的正误，并说明理由过点,且垂直于轴的直线的方程为到轴距离为的点的直线方程为到两坐标轴的距离的乘积等于的点的轨迹方程为的顶点总结反思本例给出了判定方程和曲线对应关系的两种方法等价转换和特值方法其中特值方法应引起重视，它的使用依据即“方程的曲线上的点的纯粹性和完备性”，简言之，即“多点不行，少点不可”判断下列结，”，其逆否命题即“若点的坐标不适合方程则点不在曲线上”，此即说法特值方法作如图所示的曲线，考查与方程，的关系，显然中的说法全不正确选，的点在曲线上答案分析从“曲线的方程”和“方程的曲线”两方面判断曲线与方程的概念解析直接法原说法写成命题形式即“若点，是曲线上的点，则点的坐标适合方程课堂典例讲练如果曲线上的点的坐标满足方程则以下说法正确的是曲线的方程是，方程，的曲线是坐标不满足方程，的点不在曲线上坐标满足方程它到直线的距离相等，则点的轨迹方程为答案解析本题考查了抛物线的定义及的几何意义由抛物线的定义知，方程为课它到直线的距离相等，则点的轨迹方程为答案解析本题考查了抛物线的定义及的几何意义由抛物线的定义知，方程为课堂典例讲练如果曲线上的点的坐标满足方程则以下说法正确的是曲线的方程是，方程，的曲线是坐标不满足方程，的点不在曲线上坐标满足方程，的点在曲线上答案分析从“曲线的方程”和“方程的曲线”两方面判断曲线与方程的概念解析直接法原说法写成命题形式即“若点，是曲线上的点，则点的坐标适合方程，”，其逆否命题即“若点的坐标不适合方程则点不在曲线上”，此即说法特值方法作如图所示的曲线，考查与方程，的关系，显然中的说法全不正确选总结反思本例给出了判定方程和曲线对应关系的两种方法等价转换和特值方法其中特值方法应引起重视，它的使用依据即“方程的曲线上的点的纯粹性和完备性”，简言之，即“多点不行，少点不可”判断下列结论的正误，并说明理由过点,且垂直于轴的直线的方程为到轴距离为的点的直线方程为到两坐标轴的距离的乘积等于的点的轨迹方程为的顶点为中点，则中线的方程为解析过点,且垂直于轴的直线方程为结论错误因到轴距离为的点的直线方程还有个，即不具备完备性结论错误到两坐标轴的距离的乘积等于的点的轨迹方程应为，即所给问题不具备完备性结论错误中线是条线段，而不是直线，应为，所给问题不具备纯粹性结论错误已知求直角顶点满足的方程解析以所在直线为轴，中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有设顶点，求曲线的方程方法由是直角三角形可知，即，化简得依题意可知故所求直角顶点满足的方程为方法二由是直角三角形可知⊥，所以，则，化简得直角顶点满足的方程为方法三由是直角三角形可知，所以，化简得直角顶点满足的方程为总结反思坐标系的选取，般将定点或定直线选在坐标轴上，原点有时选在定点处较为方便，有时也要考虑“对称”性如此例过点,作两条互相垂直的直线，若交轴于点，交轴于点，求线段的中点的轨迹方程解析解法如图所示，设点因为为线段的中点，所以即,因为⊥，所以而所以整理得，因为当时，的坐标分别为所以线段的中点坐标是它满足方程综上所述，点的轨迹方程是解法二设则易知两点的坐标分别是连结因为⊥，所以而，，所以，化简，得为所求轨迹方程，知，动圆圆心的轨迹方程为设圆，过原点作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程参数法求曲线方程解析方法直接法设为过的条弦为其中点，则⊥，设中点为则，得方程，考虑轨迹的范围知方法二定义法动点在以，为圆心为直径的圆上，再利用圆的方程得解方法三代入法设则⇒，又方法四参数法设动弦的方程为代入圆方程得，即消去即可总结反思本题中的四种方法都是求轨迹方程的常用方法，在求轨迹方程时，要注意挖掘题目的条件，恰当选取方法过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦，再以为邻边作矩形，求点的轨迹方程分析由⊥，可设方程为，则的方程为，由此可得两点关于的坐标，再由，得动点的参数轨迹方程，消去参数即可得的轨迹方程解析设斜率为，则斜率为，所在直线为代入得即，所在直线方程为，代入可得，又，，，整理得即点的轨迹方程为总结反思用参数法求轨迹方程时，要选好参数，将动点的横纵坐标表示成参数的形式二要掌握消参的技巧易混易错辨析等腰三角形的顶点是底边的个端点是求另端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么误解设另端点的坐标为依题意得，即，两边平方，得，即另端点的轨迹是以,为圆心，以为半径的圆正解设另个端点的坐标为依题意得，即，两边平方，得令得，因为三点不共线，所以轨迹不包括点，故另个端点的轨迹方程是，且其轨迹不包括点这是以,为圆心，以为半径的圆，且除去点，迷津点拨上述求得的轨迹方程忽视了不共线这个隐含条件，因为为三角形的顶点，所以三点不共线，即，不能重合，且，不能为圆的直径的两个端点点与已知点,连线的斜率是它与点,连线的斜率的倍，求点的轨迹方程误解设点的坐标为由已知可得，化简整理得，点的轨迹方程为正解设点的坐标为当时，直线的斜率不存在当时，直线的斜率不存在，均不合题意当时，由已知得，化简整理得，点的轨迹方程为迷津点拨因为直线和直线的斜率都存在，所以在中，，但在中却有，此时点,和,在方程的曲线上，其原因是从到是非等价变形，使的范围扩大了成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修圆锥曲线与方程第三章曲线与方程第课时曲线与方程圆锥曲线的共同特征第三章知识要点解读预习效果检测课堂典例讲练课时作业易混易错辨析课前自主预习课前自主预习般地，在平面直角坐标系中，如果曲线看作满足种条件的点的集合或轨迹上的点与个二元方程的实数解建立了如下的关系那么，这条曲线叫作，这个方程叫作曲线上点的坐标都是这个方程的解以这个方程的解为坐标的点都在曲线上方程的曲线曲线的方程圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到个定点的距离与它到条定直线的距离之比为定值当时，圆锥曲线是椭圆当时，圆锥曲线是双曲线当时，圆锥曲线是抛物线圆锥曲线的统定义平面内与个定点和条定直线不过的距离的比等于常数的点的集合叫作圆锥曲线这个定点叫作圆锥曲线的焦点，这条定直线叫作圆锥曲线的准线，常数叫作圆锥曲线的离心率知识要点解读平面直角坐标系的选取原则以已知定点为原点以已知定直线为坐标轴轴或轴以已知线段所在直线为坐标轴轴或轴，以已知线段的中点为原点以已知互相垂直的两定直线为坐标轴如果曲线或轨迹有对称中心，通常以对称中心为原点如果曲线或轨迹有对称轴，通常以对称轴为坐标轴轴或轴尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上，或者让尽量多的点在坐标轴上对求曲线方程的五个步骤的四点说明在第步中，如果原题中没有确定坐标系，首先要建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单第二步是求方程的重要环要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意点有关的等量关系，列出几何等式此步骤也可以省略，而直接将几何条件用动点的坐标表示在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“失解”或“增解”第五步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明如些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中或的取值范围予以剔除对求曲线方程的三点说明求曲线方程时，由于建系的方法不同，求得的方程也不同般地，求哪个点的运动轨迹方程，就设哪个点的坐标是而不设成，或，化简方程时，般将方程，化成关于的整式形式，并且要保证化简过程的恒等性通过方程研究曲线性质的方法借助于曲线方程研究曲线的性质时，首先应把方程通过配方因式分解分离变量等方法化为我们熟悉的形式，然后结合图形，研究其性质过焦点的弦的弦长是个仅与它的中点的横坐标有关的数，当椭圆的焦点落在轴上时，焦半径公式为，如果遇到有动点到两定点距离的问题，应自然联想到椭圆双曲线的定义预习效果检测曲线的方程为，则下列四点中在曲线上的是,,答案方程表示的曲线是两条互相垂直的直线两条射线条直线和条射线个点，答案下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是答案已知方程和所确定的两条曲线有两个交点，则的取值范围是或∅答案动点到点,的距离与它到直线的距离相等，则点的轨迹方程为答案解析本题考查了抛物线的定义及的几何意义由抛物线的定义知，方程为课堂典例讲练如果曲线上的点的坐标满足方程则以下说法正确的是曲线的方