有意义的想象的虚无飘渺的法国数学家笛卡儿在几何学中使用“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来但这引起了数学界的片困惑，很多大数学家都不承认虚数然而，真理性的东西定可以经得住时间的考验，并最终占有席之地许多数学家经过长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了年的“幽灵”虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚虚数成为了数系大家庭中的员，从而实数集才扩充到了复数集同学们，你想了解复数的初步知识吗那就让我们步入本章的学习吧！随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且在系统分析信号分析量子力学电工学应用数学流体力学振动理论机翼理论等方面得到了广泛应用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据数系的扩充和复数的概念第三章数系的扩充和复数的概念典例探究学案课时作业自主预习学案自主预习学案在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示理解复数实数集实数集与虚数集的交集是纯虚数集与实数集的交集为空集答案解析实数集与虚数集的交集为∅复数的分类取何实数时，复数是实数是虚数是纯虚的运算律由于与实数集中矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立例如复数集中不全是实数的两数不能比较大小下列结论错误的是自然数集是非负整数集实数集与复数集的交集是，或，当时，是实数为虚数，，且，且当且时，是，亦适合加减乘集的交集为空集答案解析实数集与虚数集的交集为∅复数的分类取何实数时，复数是实数是虚数是纯虚数解析为实数，盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立例如复数集中不全是实数的两数不能比较大小下列结论错误的是自然数集是非负整数集实数集与复数集的交集是实数集实数集与虚数集的交集是纯虚数集与实数念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分学习本章必须准确理解复数的概念虚数单位的性质与实数之间可以运算，亦适合加减乘的运算律由于与实数集中矛法规律总结解答复数概念题，定要紧扣复数的定义，牢记的性质复数的代数形式若，只有当时，才是的实部，才是的虚部，且注意虚部不是，而是不要将复数与虚数的概定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，是假命题由于两个虚数不能比较大小，是假命题当，时成立，是假命题当时，，但不是纯虚数答案方等的充要条件判断是复数比较大小，必须全是实数才可比较是在实数条件下求得结果，当为复数时，未必成立要按复数是纯虚数的充要条件判断复数的概念解析由于，，所以不若则的充要条件是若且，则若，则若，则为纯虚数分析是两复数相等，用复数相有理数无理数答案解析，应选∁无理数虚数，∁实数，∁∩∁无理数下列命题中，正确命题的个数是，且关系为计算的值为全集复数，集合有理数，虚数，则∁∩∁复数实数内不含不是纯虚数的虚数∩∅，而∅∩，很明显由图及复数的有关概念易得∩∅方法规律总结数集的包含关系反映了数集的扩充顺序，即数集的扩充顺序为示复数集实数集纯虚数集，取为全集，则有∩∩∩∅数集之间的关系解析答案选项判断原因分析复数集包含实数纯虚数不是纯虚数的虚数，而时，是实数当，即且时，是虚数当，即时，是纯虚数当，即时，是零典例探究学案设分别表解析，，实数为何值时，复数是实数虚数纯虚数零解析当，即或，，则答案解析，，故若复数，则实数的值等于答案，，则答案解析，，故若复数，则实数的值等于答案解析，，实数为何值时，复数是实数虚数纯虚数零解析当，即或时，是实数当，即且时，是虚数当，即时，是纯虚数当，即时，是零典例探究学案设分别表示复数集实数集纯虚数集，取为全集，则有∩∩∩∅数集之间的关系解析答案选项判断原因分析复数集包含实数纯虚数不是纯虚数的虚数，而内不含不是纯虚数的虚数∩∅，而∅∩，很明显由图及复数的有关概念易得∩∅方法规律总结数集的包含关系反映了数集的扩充顺序，即数集的扩充顺序为，且关系为计算的值为全集复数，集合有理数，虚数，则∁∩∁复数实数有理数无理数答案解析，应选∁无理数虚数，∁实数，∁∩∁无理数下列命题中，正确命题的个数是若则的充要条件是若且，则若，则若，则为纯虚数分析是两复数相等，用复数相等的充要条件判断是复数比较大小，必须全是实数才可比较是在实数条件下求得结果，当为复数时，未必成立要按复数是纯虚数的充要条件判断复数的概念解析由于，，所以不定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，是假命题由于两个虚数不能比较大小，是假命题当，时成立，是假命题当时，，但不是纯虚数答案方法规律总结解答复数概念题，定要紧扣复数的定义，牢记的性质复数的代数形式若，只有当时，才是的实部，才是的虚部，且注意虚部不是，而是不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分学习本章必须准确理解复数的概念虚数单位的性质与实数之间可以运算，亦适合加减乘的运算律由于与实数集中矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立例如复数集中不全是实数的两数不能比较大小下列结论错误的是自然数集是非负整数集实数集与复数集的交集是实数集实数集与虚数集的交集是纯虚数集与实数集的交集为空集答案解析实数集与虚数集的交集为∅复数的分类取何实数时，复数是实数是虚数是纯虚数解析为实数，，或，当时，是实数为虚数，，且，且当且时，是，亦适合加减乘的运算律由于与实数集中矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立例如复数集中不全是实数的两数不能比较大小下列结论错误的是自然数集是非负整数集实数集与复数集的交集是实数集实数集与虚数集的交集是纯虚数集与实数集的交集为空集答案解析实数集与虚数集的交集为∅复数的分类取何实数时，复数是实数是虚数是纯虚数解析为实数，，或，当时，是实数为虚数，，且，且当且时，是虚数为纯虚数，，或且，或当或时，是纯虚数方法规律总结判断个含有参数的复数在什么情况下是实数虚数纯虚数，首先要保证参数值使虚数表达式有意义，其次要注意复数代数形式的条件，另外对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，解答后进行验算是很必要的形如的数不定是纯虚数，只有限定条件且时，形如的数才是纯虚数若是纯虚数，则实数的值为或不存在答案解析由条件知，，，或，或，已知集合，集合若∩，求实数的值分析由集合的运算列出等式关系，再根据复数相等的定义求的值即可复数相等解析由题设知，根据复数相等的定义，，或，或方法规律总结复数相等的充要条件是“化复为实”的主要依据，多用来求解参数的值步骤是分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与虚部分别相等列方程组求解已知，求实数的值解析因为为实数，所以均为实数由复数相等的充要条件，知，所以准确掌握概念在下列命题中，正确命题的个数是两个复数不能比较大小若和都是虚数，且它们的虚部相等，则若是两个相等的实数，则是纯虚数错解两个复数不能比较大小，故正确设，与的虚部相等，故正确若是两个相等的实数，则，所以是纯虚数，故正确综上可知都正确，故选辨析两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解中忽视了这特殊情况导致错误而错解将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为且虚数为，，且中要保证才可能是纯虚数正解两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故是不正确的设，，且当时当时，，故是错误的，当时，是纯虚数，当时，是实数，故错误，因此选成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修数系的扩充与复数的引入第三章我们知道，在实数范围内，解方程是无能为力的，只有把实数集扩充到复数集上才能解决，可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集可不是件容易的事世纪意大利米兰学者卡当在年发表的重要的艺术书中，公布了三次方程的般解法“卡当公式”，他把分成两部分，使它们的乘积等于，即，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的想象的虚无飘渺的法国数学家笛卡儿在几何学中使用“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来但这引起了数学界的片困惑，很多大数学家都不承认虚数然而，真理性的东西定可以经得住时间的考验，并最终占有席之地许多数学家经过长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了年的“幽灵”虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚虚数成为了数系大家庭中的员，从而实数集才扩充到了复数集同学们，你想了解复数的初步知识吗那就让我们步入本章的学习吧！随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且在系统分析信号分析量子力学电工学应用数学流体力学振动理论机翼理论等方面得到了广泛应用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据数系的扩充和复数的概念第三章数系的扩充和复数的概念典例探究学案课时作业自主预习学案自主预习学案在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示理解复数相等的充要条件重点复数的概念与复数的代数形式复数的分类难点复数的概念及分类，复数相等思维导航我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到整数集，再扩充到有理数分数有限小数和无限循环小数，再扩充无理数到实数集，但在实数集中，我们已知元二次方程，当时无实数解，我们能否设想种方法使得时方程也有解呢数系的扩充与复数的概念新知导学复数的定义形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足全体复数构成的集合叫做复数的代数表示复数通常用字母表示，即，这表示形式叫做复数的代数形式，与分别叫做复数的与复数集实部虚部牛刀小试复数的虚部是答案解析虚部是的系数，为实数，故选若复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为答案或解析由题意可得，即，解得或新知导学复数相等的充要条件设都是实数，那么⇔复数，的充要条件是，是为纯虚数的复数的相等与复数的分类且且必要不充分条件复数的分类复数，，为实数⇔，为虚数⇔，为纯虚数⇔集合表示牛刀小试若复数是实数，则不存在答案解析为实数的充要条件是若，，则答案解析，，故若复数，则实数的值等于答案解析，，实数为何值时，复数是实数虚数纯虚数