中则如图所示特殊向量的坐标表示若向量平行轴，则若向量平行轴，则若向量平行轴，则若向量平行平面，则若向量平行平面，则若向量平行平面，则预习效果检测如果与任何向量都不能构成空间的个基底，则与共线与同向与反向与共面答案解析因为空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的个基底，因此，必与任何向量共面，所以为共线向量故选在空间四边形中，是的重心，若，则等于答案解析如图，取的中点，连结，则必过点，则，所以向量，柱为直三棱柱，⊥，建立坐标系如图，为的中点，求的坐标解析设为标准正交基，总结反思求在单位正交基下的坐标，关键先依据条件结合图形建立空间直角坐标系，将表示为，则的坐标为的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标如图所示，三棱若向量可以用基向量表示为，则就是在基底下的坐标解析，的正方体中，分别为棱的中点，以为基底，求下列向量的坐标分析空间向量的坐标表示棱长为，分别是和的中点，试用表示解析连接，则向量的加法减法数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法减法的三角形法则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示如图，四棱锥的底面为矩形，⊥平面，设，总结反思用基底表示空间向量，般要用用来表示由于点为的重心，所以有解析⊥平面，四边形为正方形，为的重心试用基底表示向量分析利用三角形法则，平行四边形法则将向量，基底的向量组有个答案解析都可以作为空间的组基底，对于显然共面，故不能作为空间的个基底课堂典例讲练空间向量基本定理如图，已知是空间直角坐标设，且是空间的个基底，给出下列向量组，，其中可以作为空间的答案解析，点在上总结反思这里的坐标，不解析因为的横坐标为，所以平行于平面空间四边形中点在上，且，为的中点，在基底下的坐标为，所以向量，则平行于轴平行于平面平行于平面平行于平面答案，所以向量，则平行于轴平行于平面平行于平面平行于平面答案解析因为的横坐标为，所以平行于平面空间四边形中点在上，且，为的中点，在基底下的坐标为答案解析，点在上总结反思这里的坐标，不是空间直角坐标设，且是空间的个基底，给出下列向量组，，其中可以作为空间的基底的向量组有个答案解析都可以作为空间的组基底，对于显然共面，故不能作为空间的个基底课堂典例讲练空间向量基本定理如图，已知⊥平面，四边形为正方形，为的重心试用基底表示向量分析利用三角形法则，平行四边形法则将向量，用来表示由于点为的重心，所以有解析总结反思用基底表示空间向量，般要用向量的加法减法数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法减法的三角形法则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示如图，四棱锥的底面为矩形，⊥平面，设分别是和的中点，试用表示解析连接，则空间向量的坐标表示棱长为的正方体中，分别为棱的中点，以为基底，求下列向量的坐标分析若向量可以用基向量表示为，则就是在基底下的坐标解析总结反思求在单位正交基下的坐标，关键先依据条件结合图形建立空间直角坐标系，将表示为，则的坐标为的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标如图所示，三棱柱为直三棱柱，⊥，建立坐标系如图，为的中点，求的坐标解析设为标准正交基空间向量的坐标表示棱长为的正方体中，分别为棱的中点，以为基底，求下列向量的坐标分析若向量可以用基向量表示为，则就是在基底下的坐标解析总结反思求在单位正交基下的坐标，关键先依据条件结合图形建立空间直角坐标系，将表示为，则的坐标为的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标如图所示，三棱柱为直三棱柱，⊥，建立坐标系如图，为的中点，求的坐标解析设为标准正交基总结反思本题主要考查空间向量的坐标表示解题时，首先要找准标准正交基，然后根据向量，则，即可得到结果探索性问题已知三点不共线，对平面外的任点，若点满足判断三个向量是否共面判断点是否在平面内解析由已知，得，向量共面由向量共面，三个向量的基线又过同点，四点共面点在平面内总结反思通过此题可得结论空间点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使设试问是否存在实数，使成立如果存在，求出的值如果不存在，请给出证明解析假设存在实数，使，则，解得，故有总结反思本题的意思是能否用线性表示其实，只要不共面，就可以表示空间任向量线性运算在向量运算中具有十分重要的作用易混易错辨析对于任意空间四边形，分别是，的中点，则的关系为共面填“共面”，“不共面”误解正解空间四边形中，分别是上的点，利用多边形加法法则可得又分别是的中点，故有将代入中，两式相加得所以，即与共面迷津点拨正确理解共面向量的概念判断三个向量是否共面，注意向量共面的充要条件的表达式，在解题时切记结合图形，运用数形结合法写出向量表达式，如本例中式，注意相反向量在化简中的作用，如本例中式成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修空间向量与立体几何第二章向量的坐标表示和空间向量基本定理第课时空间向量的标准正交分解与坐标表示及空间向量基本定理第二章知识要点解读预习效果检测课堂典例讲练课时作业易混易错辨析课前自主预习课前自主预习空间向量基本定理定理如果三个向量，那么对空间任向量，存在有序实数组，使得其中叫做空间的个基底，都叫做基向量空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底三个有公共起点的的单位向量称为单位正交基底两两垂直不共面空间直角坐标系以的公共点为，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系空间直角坐标表示对于空间任意个向量，定可以把它，使它的起点与原点重合，得到向量由空间向量基本定理可知，存在有序数组，使得把称作向量在单位正交基底下的坐标，记作原点平移知识要点解读用空间三个不共面的已知向量可以线性表示出空间任意个向量，而且表示的结果是唯的，空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的个基底用基底中的基向量表示向量即向量的分解，关键是结合图形，运用三角形法则平行四边形法则及多边形法则，逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”空间向量基本定理的证明设不共面，过点作过点作直线平行于，交平面于点在平面内，过点作直线，，分别与直线相交于点于是存在三个实数，使，空间直角坐标系与单位正交基底的关系在空间选点和个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴轴轴轴，它们都叫坐标轴，这样我们就建立了个空间直角坐标系，其中叫原点，向量都叫坐标向量，经过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，它们分别是平面，平面，平面空间点的坐标的确定方法对空间的点，如图所示，过点作面的垂线，垂足为，在面中，过分别作轴轴的垂线，垂足分别为，则，根据点的位置即可确定的符号例如，在长方体中则如图所示特殊向量的坐标表示若向量平行轴，则若向量平行轴，则若向量平行轴，则若向量平行平面，则若向量平行平面，则若向量平行平面，则预习效果检测如果与任何向量都不能构成空间的个基底，则与共线与同向与反向与共面答案解析因为空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的个基底，因此，必与任何向量共面，所以为共线向量故选在空间四边形中，是的重心，若，则等于答案解析如图，取的中点，连结，则必过点，则，所以向量，则平行于轴平行于平面平行于平面平行于平面答案解析因为的横坐标为，所以平行于平面空间四边形中点在上，且，为的中点，在基底下的坐标为答案解析，点在上总结反思这里的坐标，不是空间直角坐标设，且是空间的个基底，给出下列向量组，，其中可以作为空间的基底的向量组有个答案解析都可以作为空间的组基底，对于显然共面，故不能作为空间的个基底课堂典例讲练空间向量基本定理如图，已知，所以向量，则平行于轴平行于平面平行于平面平行于平面答案解析因为的横坐标为，所以平行于平面空间四边形中点在上，且，为的中点，在基底下的坐标为答案解析，点在上总结反思这里的坐标，不是空间直角坐标设，且是空间的个基底，给出下列向量组，，其中可以作为空间的基底的向量组有个答案解析都可以作为空间的组基底，对于显然共面，故不能作为空间的个基底课堂典例讲练空间向量基本定理如图，已知⊥平面，四边形为正方形，为的重心试用基底表示向量分析利用三角形法则，平行四边形法则将向量，用来表示由于点为的重心，所以有解析总结反思用基底表示空间向量，般要用向量的加法减法数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法减法的三角形法则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示如图，四棱锥的底面为矩形，⊥平面，设分别是和的中点，试用表示解析连接，则空间向量的坐标表示棱长为的正方体中，分别为棱的中点，以为基底，求下列向量的坐标分析若向量可以用基向量表示为，则就是在基底下的坐标解析总结反思求在单位正交基下的坐标，关键先依据条件结合图形建立空间直角坐标系，将表示为，则的坐标为的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标如图所示，三棱柱为直三棱柱，⊥，建立坐标系如图，为的中点，求的坐标解析设为标准正交基解析因为的横坐标为，所以平行于平面空间四边形中点在上，且，为的中点，在基底下的坐标为是空间直角坐标设，且是空间的个基底，给出下列向量组，，其中可以作为空间的⊥平面，四边形为正方形，为的重心试用基底表示向量分析利用三角形法则，平行四边形法则将向量，总结反思用基底表示空间向量，般要用，分别是和的中点，试用表示