令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线易混易错辨析设抛物线的准线与直线的距离为，求抛物线的标准方程误解由可得其准线方程为由题意知或，解得或，故所求抛物线的标准方程为或正解可化为，其准线方程为由题意知或，解得或，故所求抛物线的标准方程为或总结反思本题在解答过程中容易出现两个错误是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误地将所给方程看作是抛物线的标准方程，得到准线方程为二是得到准线方程后，只分析其中的种情况，而忽略了另种情况，只得到个解设点的坐标为,，求抛物线上的点到点的距离的最小值误解设曲线上任点的坐标为点到点的距离为，则因为，所以当时，取最小值，所，显然，当时，的最小值为总结反思解决过定点问题常采用分离参数法解决最值问题最常用直线的方程为，化简得显然过定点,设直线方程为，代入，得，求面积的最小值定点定值最值问题解析设直线的方程为，则直线的方程为，由解得，同理由可得，解得则，已知的个顶点为抛物线的顶点，两点都在抛物线上，且证明直线必过定点物线，为抛物线的顶点，⊥，则的面积是答案解析由抛物线的对称性质及⊥知，直线的方程为，由，且，而于是总结反思本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这性质，但往往会直观上承认而忽略了它的证明等腰内接于抛，所以，即由此可得，即线段关于轴对称由于垂直于轴，个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长抛物线的对称性解析如图，设正三角形的顶点在抛物线上，且它们坐标分别为，和则又作⊥于，⊥于，则，同理，又，则，故抛物线方程为正三角形的个顶点位于坐标原点，另外两作轴的垂线交抛物线于两点，且解析顶点与焦点距离为，即又对称轴为轴，抛物线方程为或设抛物线的准线为，交轴于点，的方程为，知抛物线经过的个点的坐标，则抛物线的焦点既可以在轴上，也可以在轴上求满足下列条件的抛物线的标准方程顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等于的抛物线方程过抛物线的焦点程为，抛物线方程为焦点到准线的距离为，抛物线的标准方程为或总结反思当抛物线焦点的位置不能确定时，应进行分类讨论般地，求抛物线的标准方程时，如果只方程是焦点到准线的距离是解析设抛物线的标准方程为，又焦点，抛物线方程为由题意，设抛物线的标准方程为，又准线方，当时，将，代入得，当时，将，代入得，故课堂典例讲练抛物线的标准方程根据下列条件写出抛物线的标准方程焦点是准线个共同焦点，故个正三角形的两个顶点在抛物线上，另个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为，则答案解析设正三角形边长为，若抛物线与椭圆有个共同的焦点，则答案解析椭圆焦点为,和因为抛物线与椭圆有物线上，则即抛物线上的点到直线的距离的最小值是答案解析设，为抛物线上任意点物线上，则即抛物线上的点到直线的距离的最小值是答案解析设，为抛物线上任意点，若抛物线与椭圆有个共同的焦点，则答案解析椭圆焦点为,和因为抛物线与椭圆有个共同焦点，故个正三角形的两个顶点在抛物线上，另个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为，则答案解析设正三角形边长为，当时，将，代入得，当时，将，代入得，故课堂典例讲练抛物线的标准方程根据下列条件写出抛物线的标准方程焦点是准线方程是焦点到准线的距离是解析设抛物线的标准方程为，又焦点，抛物线方程为由题意，设抛物线的标准方程为，又准线方程为，抛物线方程为焦点到准线的距离为，抛物线的标准方程为或总结反思当抛物线焦点的位置不能确定时，应进行分类讨论般地，求抛物线的标准方程时，如果只知抛物线经过的个点的坐标，则抛物线的焦点既可以在轴上，也可以在轴上求满足下列条件的抛物线的标准方程顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等于的抛物线方程过抛物线的焦点作轴的垂线交抛物线于两点，且解析顶点与焦点距离为，即又对称轴为轴，抛物线方程为或设抛物线的准线为，交轴于点，的方程为，作⊥于，⊥于，则，同理，又，则，故抛物线方程为正三角形的个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长抛物线的对称性解析如图，设正三角形的顶点在抛物线上，且它们坐标分别为，和则又，所以，即由此可得，即线段关于轴对称由于垂直于轴，且，而于是总结反思本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这性质，但往往会直观上承认而忽略了它的证明等腰内接于抛物线，为抛物线的顶点，⊥，则的面积是答案解析由抛物线的对称性质及⊥知，直线的方程为，由解得则，已知的个顶点为抛物线的顶点，两点都在抛物线上，且证明直线必过定点求面积的最小值定点定值最值问题解析设直线的方程为，则直线的方程为，由解得，同理由可得直线的方程为，化简得显然过定点,设直线方程为，代入，得，，显然，当时，的最小值为总结反思解决过定点问题常采用分离参数法解决最值问题最常用的方法就是建立函数，转化为函数的最值来加以解决如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的负半轴上，过点，作直线与抛物线相交于两点，且满足，求直线和抛物线的方程当抛物线上动点在点和点之间运动时，求面积的最大值解析据题意可设直线的方程为，抛物线的方程为联立得，设点则，所以，当时此时直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值因此存在直线满足题意总结反思近两年高考对于解析几何的考查难度降低，注重对考生探究性能力的考查，同学们备考的时候要注意对解析几何中有关探究性问题的练习在平面直角坐标系中，过定点，作直线与抛物线相交于两点若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值若存在，求出的方程若不存在，说明理由解析方法依题意，点的坐标为可设直线的方程为，与联立得，消去得由韦达定理得，于是，当时，假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，则⊥，点的坐标为，令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线方法二前同方法，再由弦长公式得，又由点到直线的距离公式得点到直线的距离为，从而当时，假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，则设直线与以为直径的圆的交点为则有令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线易混易错辨析设抛物线的准线与直线的距离为，求抛物线的标准方程误解由可得其准线方程为由题意知或，解得或，故所求抛物线的标准方程为或正解可化为，其准线方程为由题意知或，解得或，故所求抛物线的标准方程为或总结反思本题在解答过程中容易出现两个错误是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误地将所给方程看作是抛物线的标准方程，得到准线方程为二是得到准线方程后，只分析其中的种情况，而忽略了另种情况，只得到个解设点的坐标为,，求抛物线上的点到点的距离的最小值误解设曲线上任点的坐标为点到点的距离为，则因为，所以当时，取最小值，所以正解同上述解法，得，因为，，所以当，时当上的点到点,的距离为，则有，成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修圆锥曲线与方程第三章抛物线第课时抛物线的简单性质第三章知识要点解读预习效果检测课堂典例讲练课时作业易混易错辨析课前自主预习课前自主预习已知抛物线的标准方程为，则抛物线上点的横坐标的取值范围为抛物线的对称轴为过焦点的，抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离的比叫作抛物线的坐标轴顶点离心率抛物线的几何性质标准方程图形范围对称性对称轴对称轴顶点离心率性质通径过焦点且与对称轴垂直的弦，轴轴坐标原点焦半径抛物线上点与焦点连线的线段叫作焦半径，设抛物线上任点则四种标准方程形式下的焦半径公式为标准方程焦半径对于抛物线的焦点弦有以下结论若直线的倾斜角为，则，知识要点解读在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆双曲线的比较椭圆双曲线抛物线对称轴轴和轴轴或轴对称中心,无顶点个个个,焦点个个准线不研究条渐近线无条无离心率,，参数对抛物线开口大小的影响因为过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦的长度是，所以越大，开口越大抛物线的图象具有的特征抛物线是轴对称图形，其焦点和准线与对称轴的交点关于原点对称，即若准线与对称轴的交点为，则为的中点点，与抛物线的位置关系，在抛物线内部⇔，在抛物线外上⇔，在抛物线外部⇔条直线与个圆相切的充要条件是这条直线与这个圆有且只有个公共点，但不能说条直线与条抛物线相切的充要条件是这条直线与这条抛物线有且只有个公共点当条直线与条抛物线只有个公共点时，这条直线未必与该抛物线相切，例如平行于抛物线的对称轴的直线与该抛物线只有个公共点，但这条直线并不与这条抛物线相切当直线不与抛物线的对称轴平行时，可以根据公共点的个数来判断直线与抛物线相离相切或相交的位置关系预习效果检测抛物线的通径为，为坐标原点，则通径的长为，的面积为通径的长为，的面积为通径的长为，的面积为通径的长为，的面积为答案解析，设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，又抛物线上的点，与点的距离为，则等于或或答案解析由题设条件可设抛物线方程为，又点在抛物线上，则即抛物线上的点到直线的距离的最小值是答案解析设，为抛物线上任意点，若抛物线与椭圆有个共同的焦点，则答案解析椭圆焦点为,和因为抛物线与椭圆有个共同焦点，故个正三角形的两个顶点在抛物线上，另个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为，则答案解析设正三角形边长为，当时，将，代入得，当时，将，代入得，故课堂典例讲练抛物线的标准方程根据下列条件写出抛物线的标准方程焦点是准线方程是焦点到准线的距离是解析设抛物线的标准方程为，又焦点，抛物线方程为由题意，设抛物线的标准方程为，又准线方程为，抛物线方程为焦点到准线的距离为，抛物线的标准方程为或总结反思当抛物线焦点的位置不能确定时，应进行分类讨论般地，求抛物线的标准方程时，如果只知抛物线经过的个点的坐标，则抛物线的焦点既可以在轴上，也可以在轴上求满足下列条件的抛物线的标准方程顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等于的抛物线方程过抛物线的焦点作轴的垂线交抛物线于两点，且解析顶点与焦点距离为，即又对称轴为轴，抛物线方程为或设抛物线的准线为，交轴于点，的方程为，作⊥于，⊥于，则，同理，又，则，故抛物线方程为正三角形的个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长抛物线的对称性解析如图，设正三角形物线上，则即抛物线上的点到直线的距离的最小值是答案解析设，为抛物线上任意点，若抛物线与椭圆有个共同的焦点，则答案