球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图所以正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图所示，所以有所以综上可得规律技巧正方体内切球的直径等于正方体的棱长正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长综合问题三例正方体等边圆柱即底面直径与母线长相等的圆柱球的体积相等时，哪个表面积最小解设正方体棱长为，等边圆柱底面半径为，高为，球半径为则正方体，圆柱，球，由已知，球的体积等于等边圆柱体积的，表面积也等于等边圆柱表面积的与球有关的接切问题二例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比分析作出截面图，分别求出三个球的半径解设正方体的棱长为正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图，所以有所以球与正方体的甲乙，甲乙，故选答案圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入三个相同的球球的半径与圆柱的底面半径相同后，水恰好淹没最上面的球如图所示，则球的半径是解析乙甲乙甲乙且甲乙解析甲，甲，乙，乙，所以，则球的直径为，球答案个直径都为的球，记它们的体积之和为甲，表面积之和为甲个直径为的球，记其体积为乙，表面积为乙，则甲乙且甲小圆面积与球的表面积之比为小圆球故选答案已知各顶点都在个球面上的正四棱柱高为，体积为，则这个球的体积是解析设正四棱柱的底面边长为积最小规律技巧本例说明在表面积定的情况下，球的体积最大随堂训练用平面截半径为的球，如果球心到截面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为解析小圆的半径正方体，圆柱正方体圆柱，正方体圆柱圆柱球圆柱球故球的表面，哪个表面积最小解设正方体棱长为，等边圆柱底面半径为，高为，球半径为则正方体，圆柱，球，由已知，综上可得规律技巧正方体内切球的直径等于正方体的棱长正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长综合问题三例正方体等边圆柱即底面直径与母线长相等的圆柱球的体积相等时正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图所以正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图所示，所以有所以小圆面积与球的表面积之比为小圆球故选答案已知各顶点都在个球面上的正四棱柱高为，点及球心作截面如图，所以有所以球与面积最小规律技巧本例说明在表面积定的情况下，球的体积最大随堂训练用平面截半径为的球，如果球心到截面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为解析小圆的半径正方体，圆柱正方体圆柱，正方体圆柱圆柱球圆柱球故球的表时，哪个表面积最小解设正方体棱长为，等边圆柱底面半径为，高为，球半径为则正方体，圆柱，球，由已知，综上可得规律技巧正方体内切球的直径等于正方体的棱长正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长综合问题三例正方体等边圆柱即底面直径与母线长相等的圆柱球的体积相等与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图所以正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图所示，所以有所以比分析作出截面图，分别求出三个球的半径解设正方体的棱长为正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图，所以有所以球球的体积等于等边圆柱体积的，表面积也等于等边圆柱表面积的与球有关的接切问题二例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比球的体积等于等边圆柱体积的，表面积也等于等边圆柱表面积的与球有关的接切问题二例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比分析作出截面图，分别求出三个球的半径解设正方体的棱长为正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图，所以有所以球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图所以正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图所示，所以有所以综上可得规律技巧正方体内切球的直径等于正方体的棱长正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长综合问题三例正方体等边圆柱即底面直径与母线长相等的圆柱球的体积相等时，哪个表面积最小解设正方体棱长为，等边圆柱底面半径为，高为，球半径为则正方体，圆柱，球，由已知正方体，圆柱正方体圆柱，正方体圆柱圆柱球圆柱球故球的表面积最小规律技巧本例说明在表面积定的情况下，球的体积最大随堂训练用平面截半径为的球，如果球心到截面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为解析小圆的半径小圆面积与球的表面积之比为小圆球故选答案已知各顶点都在个球面上的正四棱柱高为，点及球心作截面如图，所以有所以球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图所以正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图所示，所以有所以综上可得规律技巧正方体内切球的直径等于正方体的棱长正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长综合问题三例正方体等边圆柱即底面直径与母线长相等的圆柱球的体积相等时，哪个表面积最小解设正方体棱长为，等边圆柱底面半径为，高为，球半径为则正方体，圆柱，球，由已知正方体，圆柱正方体圆柱，正方体圆柱圆柱球圆柱球故球的表面积最小规律技巧本例说明在表面积定的情况下，球的体积最大随堂训练用平面截半径为的球，如果球心到截面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为解析小圆的半径小圆面积与球的表面积之比为小圆球故选答案已知各顶点都在个球面上的正四棱柱高为，体积为，则这个球的体积是解析设正四棱柱的底面边长为，则球的直径为，球答案个直径都为的球，记它们的体积之和为甲，表面积之和为甲个直径为的球，记其体积为乙，表面积为乙，则甲乙且甲乙甲乙甲乙且甲乙解析甲，甲，乙，乙，所以甲乙，甲乙，故选答案圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入三个相同的球球的半径与圆柱的底面半径相同后，水恰好淹没最上面的球如图所示，则球的半径是解析设球的半径为，则答案把直径分别为的三个铜球熔制成个较大的铜球，再把球削成个边长最长的正方体，求此正方体的体积解设熔制后大铜球的半径为，则依题意，此正方体为球的内接正方体，球的直径即为正方体体对角线的长设正方体的棱长为，则，正方体第章空间几何体空间几何体的表面积与体积球的体积和表面积课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础课前热身半径为的球的体积是半径为的球的表面积是自我校对名师讲解怎样分析与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题，种是内切，种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题球与多面体的组合，通过多面体的条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图课堂互动探究剖析归纳触类旁通球的体积与表面积例阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的个发现是图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转周生成的几何体称为圆柱容球在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱全面积的请你试着证明典例剖析分析利用公式计算出它们各自的表面积与体积，再比较它们之间的关系证明设圆的半径为，球的体积与圆柱的体积分别为球和柱，球的表面积与圆柱的全面积分别为球及柱，则有球，柱，球柱柱，球柱规律技巧圆柱的底面直径与高相等，则圆柱称为等边圆柱本例说明等边圆柱的内切球的体积等于等边圆柱体积的，表面积也等于等边圆柱表面积的与球有关的接切问题二例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比分析作出截面图，分别求出三个球的半径解设正方体的棱长为正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图，所以有所以球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图所以正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图所示，所以有所以综上可得规律技巧正方体内切球的直径等于正方体的棱长正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长综合问题三例正方体等边圆柱即底面直径与母线长相等的圆柱球的体积相等时，哪个表面积最小解设正方体棱长为，等边圆柱底面半径为，高为，球半径为则正方体，圆柱，球，由已知，球的体积等于等边圆柱体积的，表面积也等于等边圆柱表面积的与球有关的接切问题二例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比分析作出截面图，分别求出三个球的半径解设正方体的棱长为正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图，所以有所以球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图所以正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图所示，所以有所以综上可得规律技巧正方体内切球的直径等于正方体的棱长正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长综合问题三例正方体等边圆柱即底面直径与母线长相等的圆柱球的体积相等时，哪个表面积最小解设正方体棱长为，等边圆柱底面半径为，高为，球半径为则正方体，圆柱，球，由已知正方体，圆柱正方体圆柱，正方体圆柱圆柱球圆柱球故球的表面积最小规律技巧本例说明在表面积定的情况下，球的体积最大随堂训练用平面截半径为的球，如果球心到截面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为解析小圆的半径小圆面积与球的表面积之比为小圆球故选答案已知各顶点都在个球面上的正四棱柱高为，比分析作出截面图，分别求出三个球的半径解设正方体的棱长为正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图，所以有所以球综上可得规律技巧正方体内切球的直径等于正方体的棱长正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长综合问题三例正方体等边圆柱即底面直径与母线长相等的圆柱球的体积相等正方体，圆柱正方体圆柱，正方体圆柱圆柱球圆柱球故球的表小圆面积与球的表面积之比为小圆球故选答案已知各顶点都在个球面上的正四棱柱高为，点及球心作截面如图，所以有所以球与综上可得规律