证平面分析如图所示典例剖析要证线面平行，可先证面面平行，取的中点，连接，易证平面平面再用两面平行的性质得证证明如图，取的中点连接，为的中点，，⊄平面平面又为的中点，綊为平行四边形又⊄平面，平面又∩，平面平面平面规律技巧在证明线面平行时，常用线线平行，线面平行，面面平行进行相互转化，达到证题的目的证明面面平行二例已知，是异面直线，⊂平面，⊂平面，，，求证分析要证，由判定定理知，在内找出两条相交直线都平行于由已知，⊂，，再找出条直线这需要作辅助平面，使∩，∩，只要，就可得，具体如何作出辅助平面，请看证明证明在上任取点，设直线两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行课堂互动探究剖析归，平面已知平面平面，平面平面求证证明如图，作两个相交平面分别与交于和，，又，，，⊄平面，⊄平面，⊂平面，⊂平面，平面，平面又⊂平面，⊂平面，∩，平面平面又⊂平面的中点，綊四边形是平行四边形又⊄平面，⊂平面，平面证法如图所示，取的中点，连接则有，又三棱柱底面为等腰直角三角形，，分别为和的中点，求证平面证明证法如图所示，取的中点，连接则有綊又为如图，取各棱的中点，易证平面平面，故平行四边形的四条边及对角线均为各棱中点的连线均平行于面，共条，同理在平行四边形中也有条满足条件，故共有条答案如图所示，直巧探索平行问题，即找平行成立具备的条件，三种平行关系的相互转化是解决问题常用的方法随堂训练过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有条条条条解析由已知平面平面且平面∩平面，平面∩平面，因此，同理，又，规律技，知四边形为平行四边形，所以点为的中点在中，点，分别为，的中点，又⊂平面，⊄平面，平面当时，平面若平面平面，易知解如题图，取为解如题图，取为线段的中点，此时，连接交于点，连接由棱柱的定义若平面，则平面中存在直线与平行，连接交于，由棱柱的定义，知为的中点，平面与平面的交线与直线平行，由三角形中位线定理，知为的中点，此时⊂，⊂，综合性问题三例如图，在三棱柱中，点，分别为，上的点当的值等于何值时，平面若平面平面，求的值分析只要，就可得，具体如何作出辅助平面，请看证明证明在上任取点，设直线与点确定平面为，如图所示设∩，，，又，且∩，⊂平面，，，求证分析要证，由判定定理知，在内找出两条相交直线都平行于由已知，⊂，，再找出条直线这需要作辅助平面，使∩，∩，∩，平面平面平面规律技巧在证明线面平行时，常用线线平行，线面平行，面面平行进行相互转化，达到证题的目的证明面面平行二例已知，是异面直线，⊂平面，中点连接，为的中点，，⊄平面平面又为的中点，綊为平行四边形又⊄平面，平面又中点，为的中点求证平面分析如图所示典例剖析要证线面平行，可先证面面平行，取的中点，连接，易证平面平面再用两面平行的性质得证证明如图，取的两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行课堂互动探究剖析归纳触类旁通证明线面平行例在正方体中，为的中两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行课堂互动探究剖析归纳触类旁通证明线面平行例在正方体中，为的中点，为的中点求证平面分析如图所示典例剖析要证线面平行，可先证面面平行，取的中点，连接，易证平面平面再用两面平行的性质得证证明如图，取的中点连接，为的中点，，⊄平面平面又为的中点，綊为平行四边形又⊄平面，平面又∩，平面平面平面规律技巧在证明线面平行时，常用线线平行，线面平行，面面平行进行相互转化，达到证题的目的证明面面平行二例已知，是异面直线，⊂平面，⊂平面，，，求证分析要证，由判定定理知，在内找出两条相交直线都平行于由已知，⊂，，再找出条直线这需要作辅助平面，使∩，∩，只要，就可得，具体如何作出辅助平面，请看证明证明在上任取点，设直线与点确定平面为，如图所示设∩，，，又，且∩，⊂，⊂，综合性问题三例如图，在三棱柱中，点，分别为，上的点当的值等于何值时，平面若平面平面，求的值分析若平面，则平面中存在直线与平行，连接交于，由棱柱的定义，知为的中点，平面与平面的交线与直线平行，由三角形中位线定理，知为的中点，此时若平面平面，易知解如题图，取为解如题图，取为线段的中点，此时，连接交于点，连接由棱柱的定义，知四边形为平行四边形，所以点为的中点在中，点，分别为，的中点，又⊂平面，⊄平面，平面当时，平面由已知平面平面且平面∩平面，平面∩平面，因此，同理，又，规律技巧探索平行问题，即找平行成立具备的条件，三种平行关系的相互转化是解决问题常用的方法随堂训练过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有条条条条解析如图，取各棱的中点，易证平面平面，故平行四边形的四条边及对角线均为各棱中点的连线均平行于面，共条，同理在平行四边形中也有条满足条件，故共有条答案如图所示，直三棱柱底面为等腰直角三角形，，分别为和的中点，求证平面证明证法如图所示，取的中点，连接则有綊又为的中点，綊四边形是平行四边形又⊄平面，⊂平面，平面证法如图所示，取的中点，连接则有，又⊄平面，⊄平面，⊂平面，⊂平面，平面，平面又⊂平面，⊂平面，∩，平面平面又⊂平面，平面已知平面平面，平面平面求证证明如图，作两个相交平面分别与交于和，，又，，，，又与相交，如图，已知，是平面，外的点，直线，分别与，相交于，和，求证已知，求的长解证明∩，直线和确定个平面，则∩，∩又，由得，如图，在长方体中分别是，的中点分别是，的中点求证平面证明如图，取的中点，连接，分别是的中点，，又⊄平面，⊂平面平面，同理平面又∩，平面平面平面第二章点直线平面之间的位置关系直线平面平行的判定及其性质平面与平面平行的性质课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础课前热身平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线符号语言，∩，∩⇒图形语言如图所示如果条直线与两个平行平面中的个相交，那么它与另个也如果两个平面平行，那么其中个平面内的直线与另个平面平行自我校对相交名师讲解正确使用线面平行的性质定理与判定定理在使用判定定理和性质定理时，要注意定理中的条件如使用两平面平行的性质定理容易出现错误“如果且⊂，⊂，那么有”显然这结论是错误的必须强调辅助平面，且有∩，∩，，那么才有成立再如利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行时，最容易忽略掉“平面外条直线”这条件要避免此错误的出现，关键是明确与平面内直线平行的直线和存在这样两种位置关系为和⊂，即不仅有平行而且还有在平面内的情况辅助线辅助面的作法在证线面面面平行的有关问题时，常需要辅助线或辅助面，证题时要特别注意两点是所作的辅助线或面需要有理论根据二是辅助线或辅助面具有什么性质，定要以性质定理为依据决不能随意添加线面平行问题的转化关系面面平行的性质定理的几个常用结论两个平面平行，其中个平面内的任意条直线平行于另个平面夹在两个平行平面之间的平行线段相等经过平面外点有且只有个平面与已知平面平行两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行课堂互动探究剖析归纳触类旁通证明线面平行例在正方体中，为的中点，为的中点求证平面分析如图所示典例剖析要证线面平行，可先证面面平行，取的中点，连接，易证平面平面再用两面平行的性质得证证明如图，取的中点连接，为的中点，，⊄平面平面又为的中点，綊为平行四边形又⊄平面，平面又∩，平面平面平面规律技巧在证明线面平行时，常用线线平行，线面平行，面面平行进行相互转化，达到证题的目的证明面面平行二例已知，是异面直线，⊂平面，⊂平面，，，求证分析要证，由判定定理知，在内找出两条相交直线都平行于由已知，⊂，，再找出条直线这需要作辅助平面，使∩，∩，只要，就可得，具体如何作出辅助平面，请看证明证明在上任取点，设直线两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行课堂互动探究剖析归纳触类旁通证明线面平行例在正方体中，为的中点，为的中点求证平面分析如图所示典例剖析要证线面平行，可先证面面平行，取的中点，连接，易证平面平面再用两面平行的性质得证证明如图，取的中点连接，为的中点，，⊄平面平面又为的中点，綊为平行四边形又⊄平面，平面又∩，平面平面平面规律技巧在证明线面平行时，常用线线平行，线面平行，面面平行进行相互转化，达到证题的目的证明面面平行二例已知，是异面直线，⊂平面，⊂平面，，，求证分析要证，由判定定理知，在内找出两条相交直线都平行于由已知，⊂，，再找出条直线这需要作辅助平面，使∩，∩，只要，就可得，具体如何作出辅助平面，请看证明证明在上任取点，设直线与点确定平面为，如图所示设∩，，，又，且∩，⊂，⊂，综合性问题三例如图，在三棱柱中，点，分别为，上的点当的值等于何值时，平面若平面平面，求的值分析若平面，则平面中存在直线与平行，连接交于，由棱柱的定义，知为的中点，平面与平面的交线与直线平行，由三角形中位线定理，知为的中点，此时若平面平面，易知解如题图，取为中点，为的中点求证平面分析如图所示典例剖析要证线面平行，可先证面面平行，取的中点，连接，易证平面平面再用两面平行的性质得证证明如图，取的∩，平面平面平面规律技巧在证明线面平行时，常用线线平行，线面平行，面面平行进行相互转化，达到证题的目的证明面面平行二例已知，是异面直线，⊂平面，只要，就可得，具体如何作出辅助平面，请看证明证明在上任取点，设直线与点确定平面为，如图所示设∩，，，又，且∩，若平面，则平面中存在直线与平行，连接交于，由棱柱的定义，知为的中点，平面与平面的交线与直线平行，由三角形中位线定理，知为的中点，此时，知四边形为平行四边形，所以点为的中点在中，点，分别为，的中点，又⊂平面，⊄平面，平面当时，平面巧探索平行问题，即找平行成立具备的条件，三种平行关系的相互转化是解决问题常用的方法随堂训练过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有条条条条解析三棱柱底面为等腰直角三角形，，分别为和的中点，求证平面证明证法如图所示，取的中点，连接则有綊又为⊄平面，⊄平面，⊂平面，⊂平面，平面，平面又⊂平面，⊂平面，∩，平面平面又⊂平面证平面分析如图所示典例剖析要证线面平行，可