，所以，圆的方程是当顶点坐标为，时，同理可得圆的方程为辨错解走出误区易错点圆的般方程中，易忽视条件典例判断方程，表示什么图形错解将方程配方得，由圆的标准方程可得，方程表示个圆心为半径为的圆错因分析忽略了“当时此时，方程表示个点，即原点,”这种特殊情况正解将方程配方得当即时原方程表示个点，即原点,当即，中至少有个不为时，原方程表示个圆，圆心坐标为半径长为正解二当，即时，原方程表示个点，坐标为即,当，即中至少有个不为时，原方程表示个圆，圆心坐标为即半径长为，即目标导航了解圆的般方程的特点，会由般方程求圆心和半径重点会根据给定的条设中点为，由中点坐标公式得由直角三角形的性质知由圆的定义知，动点的轨迹是以,为圆心，以为半径长的圆由于三点不共线，所以应除去与轴的交点且方法二同方法得且由勾股定理得，即，化简得因此，直角顶点的轨迹方程为且方法三⊥，且三点不共线，所以且又，且，所以，化简得因此，直角顶点的轨迹方程为，求直角顶点的轨迹方程直角边中点的轨迹方程分析由题意知，只需寻求动点与定点之间的关系，然后化简方程即可，不过要注意动点与定点间的约束条件解析方法设顶点因为，即由得，或故所求圆的方程为，或考点三轨迹问题例已知直角的斜边为，且,圆过，令，得设圆与轴的两个交点的横坐标为则如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，般采用圆的般方程，再用待定系数法求出常数变式探究圆过点且在轴上截得的弦长为，求圆的方程解析设所求圆的方程为的两个交点的横坐标为则，数法求圆的方程时如果由已知条件容易求得圆心坐标半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出且在轴上截得的弦长为，求圆的方程解析设所求圆的方程为圆过，令，得设圆与轴需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，般采用圆的般方程，再用待定系数法求出常数变式探究圆过点，解得所求圆的方程为，圆心为半径点评应用待定系数法求圆的方程时如果由已知条件容易求得圆心坐标半径或并求这个圆的半径和圆心坐标分析求圆的般方程求圆心和半径解析设所求圆的方程为，所求圆过点，得，其中当时，最大，半径长也最大，此时圆心坐标为，考点二求圆的般方程例求过三点,的圆的方程，程是不是这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解变式探究已知圆，当该圆面积取得最大值时，求圆心坐标解析当圆的半径长最大时，圆的面积最大由的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法由圆的般方程的定义令，成立则表示圆，否则不表示圆，将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方，方程表示圆时的取值范围为，圆的半径的取值范围为点评形如表示个圆求实数的取值范围求该圆半径的取值范围分析由二元二次方程表示圆的条件可求实数的范围可将圆的半径用表示出来，根据的范围可求的取值范围解析方程化为表示个圆求实数的取值范围求该圆半径的取值范围分析由二元二次方程表示圆的条件可求实数的范围可将圆的半径用表示出来，根据的范围可求的取值范围解析方程化为，方程表示圆时的取值范围为，圆的半径的取值范围为点评形如的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法由圆的般方程的定义令，成立则表示圆，否则不表示圆，将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解变式探究已知圆，当该圆面积取得最大值时，求圆心坐标解析当圆的半径长最大时，圆的面积最大由，得，其中当时，最大，半径长也最大，此时圆心坐标为，考点二求圆的般方程例求过三点,的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标分析求圆的般方程求圆心和半径解析设所求圆的方程为，所求圆过点，解得所求圆的方程为，圆心为半径点评应用待定系数法求圆的方程时如果由已知条件容易求得圆心坐标半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，般采用圆的般方程，再用待定系数法求出常数变式探究圆过点且在轴上截得的弦长为，求圆的方程解析设所求圆的方程为圆过，令，得设圆与轴的两个交点的横坐标为则，数法求圆的方程时如果由已知条件容易求得圆心坐标半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，般采用圆的般方程，再用待定系数法求出常数变式探究圆过点且在轴上截得的弦长为，求圆的方程解析设所求圆的方程为圆过，令，得设圆与轴的两个交点的横坐标为则，即由得，或故所求圆的方程为，或考点三轨迹问题例已知直角的斜边为，且求直角顶点的轨迹方程直角边中点的轨迹方程分析由题意知，只需寻求动点与定点之间的关系，然后化简方程即可，不过要注意动点与定点间的约束条件解析方法设顶点因为⊥，且三点不共线，所以且又，且，所以，化简得因此，直角顶点的轨迹方程为且方法二同方法得且由勾股定理得，即，化简得因此，直角顶点的轨迹方程为且方法三设中点为，由中点坐标公式得由直角三角形的性质知由圆的定义知，动点的轨迹是以,为圆心，以为半径长的圆由于三点不共线，所以应除去与轴的交点所以直角顶点的轨迹方程为且设点点因为是线段的中点，由中点坐标公式得且于是有，由知，点在圆且上运动，将，代入该方程得，即因此动点的轨迹方程为且点评求动点的轨迹方程的般步骤为建系设点列式化简证明建系时可根据题目中的条件，建立适当的直角坐标系，简化运算是解题的关键求解时，重视从不同视角诠释求动点轨迹方程的步骤，注意灵活运用图形的几何性质对于“双动点”问题，若已知动点在条曲线上运动而求另动点的轨迹方程，则通常用代入法变式探究已知点,是圆的条直径的两个端点，又点在圆上运动，点求线段的中点的轨迹方程解析，是圆直径的两个端点，圆心半径，圆的方程为设，的中点是，在圆上即故线段的中点的轨迹方程是新思维随堂自测圆的圆心坐标是解析圆的圆心坐标是即，答案方程表示圆的条件是解得答案已知动点到点,的距离等于点到点,的距离的倍，那么点的轨迹方程是解析设则满足，整理得答案,是圆内点，过点最长的弦所在的直线方程为，最短的弦所在的直线方程是解析由圆的几何性质可知，过圆内点的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线垂直的弦易求出圆心为，最短的弦所在的直线的斜率为，由点斜式，分别得到方程和，即和答案个等腰三角形底边上的高等于，底边两端点的坐标是,和求它的外接圆的方程解析由题意，等腰三角形顶点的坐标是当顶点坐标为,时，设三角形外接圆的方程是，则，解之，得所以，圆的方程是当顶点坐标为，时，同理可得圆的方程为辨错解走出误区易错点圆的般方程中，易忽视条件典例判断方程，表示什么图形错解将方程配方得，由圆的标准方程可得，方程表示个圆心为半径为的圆错因分析忽略了“当时此时，方程表示个点，即原点,”这种特殊情况正解将方程配方得当即时原方程表示个点，即原点,当即，中至少有个不为时，原方程表示个圆，圆心坐标为半径长为正解二当，即时，原方程表示个点，坐标为即,当，即中至少有个不为时，原方程表示个圆，圆心坐标为即半径长为，即目标导航了解圆的般方程的特点，会由般方程求圆心和半径重点会根据给定的条件求圆的般方程，并能用圆的般方程解决简单问题重点难点初步掌握求动点的轨迹方程的方法难点易错点新知识预习探究知识点圆的般方程圆的般方程的概念当时，二元二次方程叫做圆的般方程圆的般方程对应的圆心和半径圆的般方程表示的圆的圆心为半径长为练习圆的圆心和半径分别为解析配方，得，所以，圆心为半径为答案知识点二求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标，所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系求与圆有关的轨迹问题常用的方法直接法根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式定义法当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程相关点法若动点，随着圆上的另动点，运动而运动，且，可用，表示，则可将点的坐标代入已知圆的方程，即得动点的轨迹方程练习设圆的圆心为，点在圆上，则的中心的轨迹方程是解析设的坐标为由题意可知圆心为,在圆上，故，即答案新视点名师博客圆的般方程的特点圆的般方程其中为常数具有以下特点，项的系数相等且不为零没有项求轨迹方程应注意的问题根据题目中的条件的不同，应选择建立适当的直角坐标系，使其有利于解题因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以证明时步骤可以不写，如果有特殊情况，可适当予以说明新课堂互动探究考点圆的般方程的概念例已知方程表示个圆求实数的取值范围求该圆半径的取值范围分析由二元二次方程表示圆的条件可求实数的范围可将圆的半径用表示出来，根据的范围可求的取值范围解析方程化为，方程表示圆时的取值范围为，圆的半径的取值范围为点评形如的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法由圆的般方程的定义令，成立则表示圆，否则不表示圆，将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解变式探究已知圆，当该圆面积取得最大值时，求圆心坐标解析当圆的半径长最大时，圆的面积最大由，得，其中当时，最大，半径长也最大，此时圆心坐标为，考点二求圆的般方程例求过三点,的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标分析求圆的般方程求圆心和半径解析设所求圆的方程为，所求圆过点，解得所求圆的方程为，圆心为半径点评应用待定系数法求圆的方程时如果由已知条件容易求得圆心坐标半径或需利表示个圆求实数的取值范围求该圆半径的取值范围分析由二元二次方程表示圆的条件可求实数的范围可将圆的半径用表示出来，根据的范围可求的取值范围解析方程化为，方程表示圆时的取值范围为，圆的半径的取值范围为点评形如的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法由圆的般方程的定义令，成立则表示圆，否则不表示圆，将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解变式探究已知圆，当该圆面积取得最大值时，求圆心坐标解析当圆的半径长最大时，圆的面积最大由，得，其中当时，最大，半径长也最大，此时圆心坐标为，考点二求圆的般方程例求过三点,的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标分析求圆的般方程求圆心和半径解析设所求圆的方程为，所求圆过点，解得所求圆的方程为，圆心为半径点评应用待定系数法求圆的方程时如果由已知条件容易求得圆心坐标