化为求点到直线的距离，也可以利用公式利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是般式，且，的系数对应相等当两直线都与轴或轴垂直时，可利用数形结合来解决两直线都与轴垂直时，∶，∶，则两直线都与轴垂直时，∶，∶，则新课堂互动探究考点点到直线的距离例在平面直角坐标系中，点,到直线的距离为求垂直于直线，且与点,的距离是的直线的方程分析直接利用点到直线的距离公式求解设出直线的方程，再利用点到直线的距离公式列方程求解解析由点到直线的距离公式可得设与直线垂直的直线的方程为，则由点到直线的距离公式知所以，即得或，故所求直线的方程为或答案或点评点到直线的距离的求解方法求点到直线的距离时，只需把直线方程化为般式方程，直接应用点到直线的距离公点到直线的距知，所求的变化范围为,方法二如图所示，显然有而故所求的的变化范围为,由图可知，当取最大值时，两直线垂直于而且最大距离为新思维随堂自测已知点，是第二象限的点，那么它到直线的距离是解析点，是第二象限的点时，可设直线方程为，即根据题意，解得直线方程为过点且与原点距离最大的直线方程应为过点且与垂直的直线，易求得其方程为常可得到简洁优美的解法变式探究已知点求过点且与原点距离为的直线方程过点且与原点距离最大的直线方程，并求出最大值解析当斜率不存在时，方程适合题意当直线的斜率存在的距离均不超过，两点间的距离，当且仅当两平行线与垂直时，两平行线间距离等于，所在，此时，即，可见如借助几何直观背景发挥形象思维优势和点评此题由两平行线间距离公式建立了关于，的方程，根据判别式得不等式，从而得最值，并由最值成立的条件得值本题也可从问题的几何背景考虑，易知分别过，的切平行线间故所求的的变化范围为,由图可知，当取最大值时，两直线垂直于而，所求直线的斜率为故所求的直线方程分别为即，即，且，即且综合可知，所求的变化范围为,方法二如图所示，显然有而线分别为和，则它们之间的距离为当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为∶，∶，即∶，∶，由两平行线间的距离公式写出与斜率之间的函数关系式，不难求出的范围或利用数形结合求的范围求出取最大值时斜率的值，即可求出所求直线方程解析方法当两条直线的斜率不存在时，即两直∶考点三距离公式的综合应用例两条互相平行的直线分别过点,和并且各自绕着，旋转，如果两条平行直线间的距离为求的变化范围当取最大值时两条直线的方程分析∶，即由两条平行直线间的距离公式得，解得此时∶，∶综上所述，所求直线，的方程为∶，∶或∶，线过点过点如果，且与的距离为，求直线与的方程解析当，的斜率不存在，即∶，∶时，满足条件当，的斜率存在时，设∶，即，∶，∶，且时当直线∶，∶且时，但必须注意两直线方程中，的系数对应相等变式探究直故所求直线的方程为或点评求两平行直线间的距离有两种思路利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求条直线上任意点到另条直线的距离直接利用两平行线间的距离公式，当直线，直线与，均平行否则或，不符合题意设直线∶且由两平行线间的距离公式，得又∶∶，所以，解得或，直线与，的距离分别是若∶∶，求直线的方程分析根据直线平行设出直线方程后，由两平行直线间的距离公式得到关于参数的方程，求解即可解析由直线，的方程知又由题意知直线与，的距离分别是若∶∶，求直线的方程分析根据直线平行设出直线方程后，由两平行直线间的距离公式得到关于参数的方程，求解即可解析由直线，的方程知又由题意知，直线与，均平行否则或，不符合题意设直线∶且由两平行线间的距离公式，得又∶∶，所以，解得或故所求直线的方程为或点评求两平行直线间的距离有两种思路利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求条直线上任意点到另条直线的距离直接利用两平行线间的距离公式，当直线∶，∶，且时当直线∶，∶且时，但必须注意两直线方程中，的系数对应相等变式探究直线过点过点如果，且与的距离为，求直线与的方程解析当，的斜率不存在，即∶，∶时，满足条件当，的斜率存在时，设∶，即，∶，即由两条平行直线间的距离公式得，解得此时∶，∶综上所述，所求直线，的方程为∶，∶或∶，∶考点三距离公式的综合应用例两条互相平行的直线分别过点,和并且各自绕着，旋转，如果两条平行直线间的距离为求的变化范围当取最大值时两条直线的方程分析由两平行线间的距离公式写出与斜率之间的函数关系式，不难求出的范围或利用数形结合求的范围求出取最大值时斜率的值，即可求出所求直线方程解析方法当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为和，则它们之间的距离为当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为∶，∶，即∶，∶即，且，即且综合可知，所求的变化范围为,方法二如图所示，显然有而故所求的的变化范围为,由图可知，当取最大值时，两直线垂直于而，所求直线的斜率为故所求的直线方程分别为即和点评此题由两平行线间距离公式建立了关于，的方程，根据判别式得不等式，从而得最值，并由最值成立的条件得值本题也可从问题的几何背景考虑，易知分别过，的切平行线间的距离均不超过，两点间的距离，当且仅当两平行线与垂直时，两平行线间距离等于，所在，此时，即，可见如借助几何直观背景发挥形象思维优势，常可得到简洁优美的解法变式探究已知点求过点且与原点距离为的直线方程过点且与原点距离最大的直线方程，并求出最大值解析当斜率不存在时，方程适合题意当直线的斜率存在时，可设直线方程为，即根据题意，解得直线方程为过点且与原点距离最大的直线方程应为过点且与垂直的直线，易求得其方程为，且最大距离为新思维随堂自测已知点，是第二象限的点，那么它到直线的距离是解析点，是第二象限的点点到直线的距知，所求的变化范围为,方法二如图所示，显然有而故所求的的变化范围为,由图可知，当取最大值时，两直线垂直于而，所求直线的斜率为故所求的直线方程分别为即和点评此题由两平行线间距离公式建立了关于，的方程，根据判别式得不等式，从而得最值，并由最值成立的条件得值本题也可从问题的几何背景考虑，易知分别过，的切平行线间的距离均不超过，两点间的距离，当且仅当两平行线与垂直时，两平行线间距离等于，所在，此时，即，可见如借助几何直观背景发挥形象思维优势，常可得到简洁优美的解法变式探究已知点求过点且与原点距离为的直线方程过点且与原点距离最大的直线方程，并求出最大值解析当斜率不存在时，方程适合题意当直线的斜率存在时，可设直线方程为，即根据题意，解得直线方程为过点且与原点距离最大的直线方程应为过点且与垂直的直线，易求得其方程为，且最大距离为新思维随堂自测已知点，是第二象限的点，那么它到直线的距离是解析点，是第二象限的点点到直线的距离答案若点，到直线的距离是，则实数为或或解析由点到直线距离公式，得或答案在坐标平面内，与点,距离为，且与点,距离为的直线共有条条条条解析由题意可知，所求直线显然不与轴平行，可设直线为，即，两式联立解得，或所求直线有两条答案若直线被两平行线与所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是其中正确答案的序号是写出所有正确答案的序号解析设直线与分别交于两点，过作⊥于，则，又，又直线的倾斜角为直线的倾斜角为或答案在轴上求点，使它到直线和直线的距离相等解析由题意设则有，解得或故点的坐标为，或，辨错解走出误区易错点忽略直线的斜率不存在的情况典例求经过点,且到原点的距离等于的直线方程错解设所求的直线方程为，即原点到此直线的距离等于解得故所求的直线方程为，即错因分析显然，直线也满足本题所要求的条件，因而上述解法遗漏了解只有在直线斜率存在的前提下才能用直线的点斜式方程来表示直线，因此，用直线的点斜式方程来解题，就意味着该直线的斜率定存在故错解忽视了直线的斜率不存在的情况正解当过点的直线垂直于轴时，因为它到原点的距离等于，所以满足题意，其方程为当过点的直线不垂直于轴时，同上述错解中的解法，知其方程为故所求的直线方程为或反思经过已知点且到另点的距离为定值的直线有且仅有两条，若这两条直线的斜率均存在，利用错解中的求法可以求得这两条直线，当时，这样的直线只有条且垂直于目标导航掌握点到直线的距离公式重点能用公式求点到直线的距离难点会求两条平行直线间的距离重点易错点新知识预习探究知识点点到直线的距离点，到直线的距离练习点,到直线的距离是若点,到直线的距离为，求的值解析点到直线的距离由点,到直线的距离为，可得，解得，或答案或知识点二两条平行线间的距离定义夹在两条平行直线间的长叫做这两条平行直线间的距离求法转化为求的距离，即在其中任意条直线上任取点，这点到另条直线的距离就是这两条平行直线间的距离公垂线段点到直线练习两直线和平行，则它们之间的距离为解析因为两直线平行，所以方法在直线上取点代入点到直线的距离公式，得方法二将化为，由两条平行线间的距离公式得答案新视点名师博客应用点到直线的距离公式应注意的问题直线方程应为般式，若给出其他形式，应先化成般式再用公式例如求，到直线的距离，应先把直线方程化为，得点在直线上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点与直线的位置关系直线方程中或时，公式也成立，也可以用下列方法求点到直线的距离，到的距离，到的距离对两平行直线间的距离公式的理解求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是般式，且，的系数对应相等当两直线都与轴或轴垂直时，可利用数形结合来解决两直线都与轴垂直时，∶，∶，则两直线都与轴垂直时，∶，∶，则新课堂互动探究考点点到直线的距离例在平面直角坐标系中，点,到直线的距离为求垂直于直线，且与点,的距离是的直线的方程分析直接利用点到直线的距离公式求解设出直线的方程，再利用点到直线的距离公式列方程求解解析由点到直线的距离公式可得设与直线垂直的直线的方程为，则由点到直线的距离公式知所以，即得或，故所求直线的方程为或答案或点评点到直线的距离的求解方法求点到直线的距离时，只需把直线方程化为般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可对于与坐标轴平行或重合的直线或，求点到它们的距离时，即可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可变式探究已知直线过点且点,到直线的距离相等，求直线的方程解析由于点,与,到轴的距离不相等，所以直线的斜率存在，设为又直线过点则直线的方程为，即由点,到直线的距离相等得，解得或，故直线的方程是或考点二两条平行线间的距离例已知直线∶和∶，直线与，的距离分别是若∶∶，求直线的方程分析根据直线平行设出直线方程后，由两平行直线间的距离公式得到关于参数的方程，求解即可解析由直线，的方程知又由题意知，直