在，上为增函数当时，取最小值所以，采用第种方案，利用旧墙为矩形的面边长，使建墙费用最省，费用最小值为易错探究已知，且，求的最小值错解的最小值为错因分析上述解法中，连用了两次基本不等式，其等号成立的条件是不同的，前个等号成立的条件是，后个等号成立的条件是，若等号同时成立，则，这与题设相矛盾正解，当且仅当，即时，取等号，又，当，时，有最小值随堂训练若，则下列不等式定成立的是答案设，且，则四个数，中最大的是答案公司年购买种货物吨，每次都购买吨，运费为万元次，年的总存储费变形拼凑出应用基本不等式的条件，然后用基本不等式求解，如本例利用基本不等式解决实际问题三例工厂有旧墙面长，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为的厂房工程条件是建新墙的费用，当且仅当，即或舍时等号成立故当时，取最大值规律技巧对于些问题，从形式上看不具备应用基本不等式的条件，可设法点又在直线上，而当且仅当时，取的最小值为例函数，的图象恒过定点，若点在直线上，求的最小值已知，求函数的最大值解恒过定时，等号成立当，时，规律技巧本题及三个变式充分考查了基本不等式这基础知识的应用两个正数，和为定值时，积有最大值积为定值时，和有最小值基本不等式的灵活运用二，当，即，时，等号成立，即，时又，当且仅当，即，动探究剖析归纳触类旁通基本不等式的应用例已知，且，求的最小值若，且，都是正数，求的最小值典例剖析解，的和为定值时，其积有最大值当积为定值时，其和有最小值应用此结论要注意三个条件“正二定三相等”也就是说，各项或各因式均为正值和或积为定值各项或各因式相等时有解三个条件缺不可课堂互小值为，即这个圆的半径为，显然它大于或等于，即应用均值不等式求最值应注意三个条件当两个正数，求函数的最大值解恒过定点又在直线上，而当且仅当时，取的最积有最大值积为定值时，和有最小值基本不等式的灵活运用二例函数，的图象恒过定点，若点在直线上，求的最小值已知，当且仅当，即，时，等号成立当，时，规律技巧本题及三个变式充分考查了基本不等式这基础知识的应用两个正数，和为定值时，的最小值典例剖析解，当，即，时，等号成立，即，时又或积为定值各项或各因式相等时有解三个条件缺不可课堂互动探究剖析归纳触类旁通基本不等式的应用例已知，且，求的最小值若，且，都是正数，求即应用均值不等式求最值应注意三个条件当两个正数的和为定值时，其积有最大值当积为定值时，其和有最小值应用此结论要注意三个条件“正二定三相等”也就是说，各项或各因式均为正值和为直径作圆，在直径上取点，使过点作垂直于的弦，连接易知，则，即这个圆的半径为，显然它大于或等于，中就不能取等号，因为，否则推出矛盾与成立的条件是不同的前者是，，后者是，定理的几何直观解释如图，以的长为中就不能取等号，因为，否则推出矛盾与成立的条件是不同的前者是，，后者是，定理的几何直观解释如图，以的长为直径作圆，在直径上取点，使过点作垂直于的弦，连接易知，则，即这个圆的半径为，显然它大于或等于，即应用均值不等式求最值应注意三个条件当两个正数的和为定值时，其积有最大值当积为定值时，其和有最小值应用此结论要注意三个条件“正二定三相等”也就是说，各项或各因式均为正值和或积为定值各项或各因式相等时有解三个条件缺不可课堂互动探究剖析归纳触类旁通基本不等式的应用例已知，且，求的最小值若，且，都是正数，求的最小值典例剖析解，当，即，时，等号成立，即，时又，当且仅当，即，时，等号成立当，时，规律技巧本题及三个变式充分考查了基本不等式这基础知识的应用两个正数，和为定值时，积有最大值积为定值时，和有最小值基本不等式的灵活运用二例函数，的图象恒过定点，若点在直线上，求的最小值已知，求函数的最大值解恒过定点又在直线上，而当且仅当时，取的最小值为，即这个圆的半径为，显然它大于或等于，即应用均值不等式求最值应注意三个条件当两个正数的和为定值时，其积有最大值当积为定值时，其和有最小值应用此结论要注意三个条件“正二定三相等”也就是说，各项或各因式均为正值和或积为定值各项或各因式相等时有解三个条件缺不可课堂互动探究剖析归纳触类旁通基本不等式的应用例已知，且，求的最小值若，且，都是正数，求的最小值典例剖析解，当，即，时，等号成立，即，时又，当且仅当，即，时，等号成立当，时，规律技巧本题及三个变式充分考查了基本不等式这基础知识的应用两个正数，和为定值时，积有最大值积为定值时，和有最小值基本不等式的灵活运用二例函数，的图象恒过定点，若点在直线上，求的最小值已知，求函数的最大值解恒过定点又在直线上，而当且仅当时，取的最小值为，当且仅当，即或舍时等号成立故当时，取最大值规律技巧对于些问题，从形式上看不具备应用基本不等式的条件，可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件，然后用基本不等式求解，如本例利用基本不等式解决实际问题三例工厂有旧墙面长，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为的厂房工程条件是建新墙的费用为元修旧墙的费用为元拆去旧墙，用所得的材料建新墙的费用为元经讨论有两种方案利用旧墙的段为矩形厂房的面边长矩形厂房的面边长，问如何利用旧墙即为多少时建墙费用最省两种方案哪种方案最好解设利用旧墙的面矩形边长为，则矩形的另面边长为利用旧墙的段为矩形的面边长，则修旧墙的费用为，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为，其余的建新墙的费用为故总费用为，当且仅当即时，取最小值若利用旧墙的面矩形边长为，则修旧墙的费用为，建新墙的费用为故总费用为设，则，在，上为增函数当时，取最小值所以，采用第种方案，利用旧墙为矩形的面边长，使建墙费用最省，费用最小值为易错探究已知，且，求的最小值错解的最小值为错因分析上述解法中，连用了两次基本不等式，其等号成立的条件是不同的，前个等号成立的条件是，后个等号成立的条件是，若等号同时成立，则，这与题设相矛盾正解，当且仅当，即时，取等号，又，当，时，有最小值随堂训练若，则下列不等式定成立的是答案设，且，则四个数，中最大的是答案公司年购买种货物吨，每次都购买吨，运费为万元次，年的总存储费为万元，要年的总运费与存储费用之和最小，则吨解析由题意，年购买次，则总运费万元，总存储量万元，则年的总运费与总存储费用之和设为，则取最小值时，⇒⇒答案若，求的最小值若，求的最大值若正数，满足，求的最小值解，由基本不等式当且仅当时，即时，取最小值为则即，当且仅当时，即时取最大值设，由，则有，即，解得，或舍去，当且仅当时取等号故的最小值为第三章不等式基本不等式课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础自学导引了解基本不等式的证明过程应用数形结合的思想理解基本不等式，掌握基本不等式及其变形会用基本不等式求最值课前热身基本不等式重要不等式对于任意实数有，当且仅当时，等号成立基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立应用基本不等式求最值已知，都为正数，则若和为定值，则当时，积取得最大值若积为定值，则当时，和取得最小值自我校对名师讲解对重要不等式的理解条件是，，其结论的正确性是依据不等式的性质，用比较法可以证明结论的形式可以是，也可以是解题时不仅要记住原来的形式，还要掌握变式的应用，这也是学习数学概念应下的功夫因为所有的数学公式都只表示了若干个量之间的本质联系，而不能固定于个特殊的形式等号取到的条件，当且仅当时取号是指方面是当时，取到号另方面，取到时，必有在后面的练习中，要体会这是很重要的个条件基本不等式均值定理如果，，那么，当且仅当时，式中等号成立通常这个定理被称为均值不等式对定理的理解称为，的算术平均数，称为，的几何平均数，此定理可表述为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明可以用作差比较法，即也可用重要不等式进行推导，，则，即有对于号的理解如果，那么，如果，那么，如中就不能取等号，因为，否则推出矛盾与成立的条件是不同的前者是，，后者是，定理的几何直观解释如图，以的长为直径作圆，在直径上取点，使过点作垂直于的弦，连接易知，则，即这个圆的半径为，显然它大于或等于，即应用均值不等式求最值应注意三个条件当两个正数的和为定值时，其积有最大值当积为定值时，其和有最小值应用此结论要注意三个条件“正二定三相等”也就是说，各项或各因式均为正值和或积为定值各项或各因式相等时有解三个条件缺不可课堂互动探究剖析归纳触类旁通基本不等式的应用例已知，且，求的最小值若，且，都是正数，求的最小值典例剖析解，当，即，时，等号成立，即，时又，当且仅当，即，时，等号成立当，时，规律技巧本题及三个变式充分考查了基本不等式这基础知识的应用两个正数，和为定值时，积有最大值积为定值时，和有最小值基本不等式的灵活运用二例函数，的图象恒过定点，若点在直线上，求的最小值已知，求中就不能取等号，因为，否则推出矛盾与成立的条件是不同的前者是，，后者是，定理的几何直观解释如图，以的长为直径作圆，在直径上取点，使过点作垂直于的弦，连接易知，则，即这个圆的半径为，显然它大于或等于，即应用均值不等式求最值应注意三个条件当两个正数的和为定值时，其积有最大值当积为定值时，其和有最小值应用此结论要注意三个条件“正二定三相等”也就是说，各项或各因式均为正值和或积为定值各项或各因式相等时有解三个条件缺不可课堂互动探究剖析归纳触类旁通基本不等式的应用例已知，且，求的最小值若，且，都是正数，求的最小值典例剖析解，当，即，时，等号成立，即，时又，当且仅当，即，时，等号成立当，时，规律技巧本题及三个变式充分考查了基本不等式这基础知识的应用两个正数，和为定值时，积有最大值积为定值时，和有最小值基本不等式的灵活运用二例函数，的图象恒过定点，若点在直线上，求的最小值已知，求函数的最大值解恒过定点又在直线上，而当且仅当时，取的最小值为为直径作圆，在直径上取点，使过点作垂直于的弦，连接易知，则，即这个圆的半径为，显然它大于或等于，或积为定值各项或各因式相等时有解三个条件缺不可课堂互动探究剖析归纳触类旁通基本不等式的应用例已知，且，求的最小值若，且，都是正数，求，当且仅当，即，时，等号成立当，时，规律技巧本题