角的对边长分别为已知，且，求解由余弦定理，得又，，又，由正弦定理，得，故由解得第章解三角形算法与程序框图第二课时余弦定理课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础自学导引了解余弦定理与勾股定理的区别与联系理解余弦定理的推导过程掌握余弦定理及其变式，用余弦定理解决些简单的三角形度量问题课前热身余弦定理三角形中任何边的平方等于其他两边的的减去这两边与它们的夹角的余弦的的两倍，即从余弦定理，可以得到它的推论，或当时，由勾股定理，得当时，为等腰三角形，解法由余弦定理，得角，可首先由正弦定理求出角，然后再求其他的边和角，亦可由余弦定理列出关于边长的方程，首先求出边长，再由正弦定理求角，角解解法由，知本题有两解知，解法比解法简单，因此解题时，应根据具体情况作出选择正弦定理余弦定理的应用比较四例中，已知，求角，角和边分析题目已知两边和边的对角，要求另边和其他的，即，即解得，解法在中，由正弦定理，得长分别为，若，求边长分析已知中的两边及其中边的对角，应用余弦定理或正弦定理都可以解决问题解解法在中，由余弦定理，得理利用余弦定理求角时，角是唯确定的，用正弦定理求角时，则需根据三角形边角关系确定角的取值，要防止产生增解或漏解已知三角形的两边及其中边的对角解三角形三例在中，已知角所对的三边为，解法，为锐角最大角为，规律技巧已知三角形三边求角可先用余弦定理，再用正弦定定理变形，得又，解法由正弦定理，得最大角形二例在中，已知，求最大角和分析解答本题可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正余弦定理求出最大角及解，为最大角由余弦，规律技巧本题求出后，用正弦定理求角，需要讨论确定的值，而求出后，再用余弦定理求角，可以避免讨论已知三边解三角典例剖析解由余弦定理，知，由正弦定理，得，则，或课堂互动探究剖析归纳触类旁通已知两边及夹角解三角形例在中，已知，求角，和边的值分析由条件知为边，的夹角，故应由余弦定理来求的值恒等变形方法代数恒等变形方法进行转化化简，从而得出结论常见结论设是的角的对边，若，则若，则若，殊的三角形如锐角直角钝角等腰等边三角形等对于给出条件是边角关系混合在起的问题，般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统为边的关系要么统为角的关系再利用三角形的有关知识，三角角形时，也可以使用余弦定理如已知，可先由余弦定理求出，即此时，边的解的个数对应三角形解的个数如何判断三角形的形状问题判断三角形的形状是看该三角形是否为些特的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式要注意正弦定理或余弦定理结合使用，同时，要注意三角公式的应用利用余弦定理求三角形内角时，般先求小角，后求大角已知三角形的两边和其中边的对角解三使用余弦定理求角时，使用定理的推论余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择余弦定理及其推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的定理从数量化的使用余弦定理求角时，使用定理的推论余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择余弦定理及其推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式要注意正弦定理或余弦定理结合使用，同时，要注意三角公式的应用利用余弦定理求三角形内角时，般先求小角，后求大角已知三角形的两边和其中边的对角解三角形时，也可以使用余弦定理如已知，可先由余弦定理求出，即此时，边的解的个数对应三角形解的个数如何判断三角形的形状问题判断三角形的形状是看该三角形是否为些特殊的三角形如锐角直角钝角等腰等边三角形等对于给出条件是边角关系混合在起的问题，般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统为边的关系要么统为角的关系再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法代数恒等变形方法进行转化化简，从而得出结论常见结论设是的角的对边，若，则若，则若，则，或课堂互动探究剖析归纳触类旁通已知两边及夹角解三角形例在中，已知，求角，和边的值分析由条件知为边，的夹角，故应由余弦定理来求的值典例剖析解由余弦定理，知，由正弦定理，得规律技巧本题求出后，用正弦定理求角，需要讨论确定的值，而求出后，再用余弦定理求角，可以避免讨论已知三边解三角形二例在中，已知，求最大角和分析解答本题可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正余弦定理求出最大角及解，为最大角由余弦定理变形，得又，解法由正弦定理，得最大角为，解法，为锐角最大角为，规律技巧已知三角形三边求角可先用余弦定理，再用正弦定理利用余弦定理求角时，角是唯确定的，用正弦定理求角时，则需根据三角形边角关系确定角的取值，要防止产生增解或漏解已知三角形的两边及其中边的对角解三角形三例在中，已知角所对的三边长分别为，若，求边长分析已知中的两边及其中边的对角，应用余弦定理或正弦定理都可以解决问题解解法在中，由余弦定理，得，即，即解得，解法在中，由正弦定理，得知，解法比解法简单，因此解题时，应根据具体情况作出选择正弦定理余弦定理的应用比较四例中，已知，求角，角和边分析题目已知两边和边的对角，要求另边和其他的角，可首先由正弦定理求出角，然后再求其他的边和角，亦可由余弦定理列出关于边长的方程，首先求出边长，再由正弦定理求角，角解解法由，知本题有两解，或当时，由勾股定理，得当时，为等腰三角形，解法由余弦定理，得，即，或当时，由正弦定理，得当时规律技巧比较两种解法，从中体会各自的优点，从而总结出适合自己思维的解题规律和方法解法直接运用正弦定理，求出，注意有两解，不要漏解解法利用余弦定理，列出关于的等量关系式建立方程，运用解方程的方法求出边长在解三角形时，有时用正弦定理，有时用余弦定理，若已知两边及夹角时，可考虑使用余弦定理，先求第三边，再用正弦定理或余弦定理及三角形内角和定理求解三角形中另外的元素易错探究在中求错解由正弦定理，又由余弦定理，得，或错因分析运用余弦定理求边长时，易产生增解，因此要结合题目中隐含条件进行判断正解由正弦定理，得，又由余弦定理，得或当时又，且，与已知矛盾，不合题意，舍去当时，满足题意随堂训练在中，已知，求的值解由余弦定理，在中，已知，求的最大内角解设，则，解得，是最大的边，即角是的最大角由余弦定理，得，即最大角为在中，已知，求角，和边解由，得整理得解得当时，由，这时，从而在中，内角的对边长分别为已知，且，求解由余弦定理，得又，，又，由正弦定理，得，故由解得第章解三角形算法与程序框图第二课时余弦定理课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础自学导引了解余弦定理与勾股定理的区别与联系理解余弦定理的推导过程掌握余弦定理及其变式，用余弦定理解决些简单的三角形度量问题课前热身余弦定理三角形中任何边的平方等于其他两边的的减去这两边与它们的夹角的余弦的的两倍，即从余弦定理，可以得到它的推论平方和积自我校对名师讲解余弦定理的其他证法课本使用了向量的方法推导出了余弦定理，还可以用其他方法进行证明证法勾股定理法在三角形中，已知边，及，求边的长如果，那么可以用勾股定理求的长如果，那么是否仍可以用勾股定理来解呢很自然的想法是构造直角三角形，以便于应用勾股定理进行计算当为锐角时图，高把分成两个直角三角形和当为钝角时图，作高，则构造了两个直角三角形和，算出的关键是先算出和或考查向量在向量方向上的正射影数量当分别为锐角和钝角时，得到的两个数量符号相反当为直角时，其向量在直角边上的正射影的数量为零因此，不论是锐角钝角还是直角，都有在中，运用勾股定理，得同理可得，证法解析法如图，以点为原点，以的边所在直线为轴，以过与垂直的直线为轴，建立直角坐标系，则由两点间的距离公式得即同理可证，证法用正弦定理证明同理可证，使用余弦定理的注意事项利用余弦定理解三角形时，要注意根据条件恰当选取公式般地，求边长时，使用余弦定理求角时，使用定理的推论余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择余弦定理及其推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式要注意正弦定理或余弦定理结合使用，同时，要注意三角公式的应用利用余弦定理求三角形内角时，般先求小角，后求大角已知三角形的两边和其中边的对角解三角形时，也可以使用余弦定理如已知，可先由余弦定理求出，即此时，边的解的个数对应三角形解的个数如何判断三角形的形状问题判断三角形的形状是看该三角形是否为些特殊的三角形如锐角直角钝角等腰等边三角形等对于给出条件是边角关系混合在起的问题，般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统为边的关系要么统为角的关系再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法代数恒等变形方法进行转化化简，从而得出结论常见结论设是的角的对边，若，则若，则若，则使用余弦定理求角时，使用定理的推论余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择余弦定理及其推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式要注意正弦定理或余弦定理结合使用，同时，要注意三角公式的应用利用余弦定理求三角形内角时，般先求小角，后求大角已知三角形的两边和其中边的对角解三角形时，也可以使用余弦定理如已知，可先由余弦定理求出，即此时，边的解的个数对应三角形解的个数如何判断三角形的形状问题判断三角形的形状是看该三角形是否为些特殊的三角形如锐角直角钝角等腰等边三角形等对于给出条件是边角关系混合在起的问题，般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统为边的关系要么统为角的关系再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法代数恒等变形方法进行转化化简，从而得出结论常见结论设是的角的对边，若，则若，则若，则，或课堂互动探究剖析归纳触类旁通已知两边及夹角解三角形例在中，已知，求角，和边的值分析由条件知为边，的夹角，故应由余弦定理来求的值典例剖析解由余弦定理，知，由正弦定理，得规律技巧本题求出后，用正弦定理求角，需要讨论确定的值，而求出后，再用余弦定理求角，可以避免讨论已知三边解三角形二例在中，已知，求最大角和分析解答本题可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正余弦定理求出最大角及解，为最大角由余弦定理变形，得又，解法由正弦定理，得最大角为，解法，为锐角最大角为，规律技巧已知三角形三边求角可先用余弦定理，再用正弦定理利用余弦定理求角时，角是唯确定的，用正弦定理求角时，则需根据三角形边角关系确定角的取值，要防止产生增解或漏解已知三角形的两边及其中边的对角解三角形三例在中，已知角所对的三边长分别为，若，求边长分析已知中的两边及其中边的对角，应用余弦定理或正弦定理