，所以的坐标是，又，故圆心为的圆的标准方程是目标导航会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征重点能根据所给条件求圆的标准方程重点难点掌握点与圆的位置关系易错点新知识预习探究知识点圆的定义及圆的标准方程圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径确定圆的要素是，如下图所示圆的标准方程圆心为半径长为的圆的标准方程是当时，方程为，表示以为圆心半径为的圆圆心和半径原点练习求满足下列条件的圆的标准方程经过两点且圆心在轴上圆心在轴上，半径为，且过点，解析圆心在轴上，设圆的标准方程是圆经过两点，，，圆的标准方程是设圆心在轴上，半径为的圆的标准方程为点在圆上，图形可求得将实数，看做点，的坐标，满足的点，组成的图形是以,为圆心，为半径的圆，如图设，即是圆上的点与原点连线的斜率由图知直线的最小值解析解题的关键在于所求两个式的几何意义要看清，可以看作，其几何意义为,点与圆上动点连线的斜率可看作，其几何意义为直线在轴上的截距由此再结合以看作，其几何意义为,点与圆上动点连线的斜率的几何意义，将“数”与“形”有机地结合起来是求解与圆有关的最值问题的关键变式探究已知实数，满足，求的最大值意义，将“数”与“形”有机地结合起来是求解与圆有关的最值问题的关键变式探究已知实数，满足，求的最大值的最小值解析解题的关键在于所求两个式的几何意义要看清，可当直线和圆相切时在轴上的截距取得最大值和最小值，此时有，解得，即最大值为，最小值为点评数形结合思想能有效地找到解题的捷径，解题时找到圆心和半径，分析待求数学表达式的几何的距离，故圆上的点到坐标原点的最大距离为，最小距离为因此的最大值和最小值分别为和令并将其变形为问题转化为斜率为的直线在经过圆上的点时在轴上的截距的最值几何意义，最后结合图形求出其最值或范围解析据题意知表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大和最小值原点,到圆心故点在圆外，点在圆内，故考点三与圆有关的最值问题例已知和满足，试求的最值的最值分析首先观察满足的条件，其次观察所求式子的若点,与,有点在圆内，另点在圆外，求的范围解析点,在圆上，，，对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下当时，点在圆外变式探究已知圆的标准方程为若点,在圆上，求半径因为，所以，在圆外点评判断点，与圆的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点到圆心的距离与半径比较大小求半径比较与的大小判断点与圆的位置关系解析因为圆心是且经过原点，所以圆的半径，所以圆的标准方程是考点二点与圆的位置关系例已知圆心在点且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点，和圆的位置关系分析求圆的标准方程求法二设所求圆的标准方程为，由条件知，解得故所求圆的标准方程为可设点的坐标为，又该圆经过，两点，，解得圆心坐标为半径故所求圆的标准方程为的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程变式探究求圆心在直线上，且过点，的圆的标准方程解析法设点为圆心，点在直线上，的方程组，求或直接求出圆心，和半径，般步骤为根据题意，设所求的圆的标准方程为根据已知条件，建立关于的方程组解方程组，求出的方程组，求或直接求出圆心，和半径，般步骤为根据题意，设所求的圆的标准方程为根据已知条件，建立关于的方程组解方程组，求出的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程变式探究求圆心在直线上，且过点，的圆的标准方程解析法设点为圆心，点在直线上，可设点的坐标为，又该圆经过，两点，，解得圆心坐标为半径故所求圆的标准方程为法二设所求圆的标准方程为，由条件知，解得故所求圆的标准方程为考点二点与圆的位置关系例已知圆心在点且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点，和圆的位置关系分析求圆的标准方程求求半径比较与的大小判断点与圆的位置关系解析因为圆心是且经过原点，所以圆的半径，所以圆的标准方程是因为，所以，在圆外点评判断点，与圆的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点到圆心的距离与半径比较大小对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下当时，点在圆外变式探究已知圆的标准方程为若点,在圆上，求半径若点,与,有点在圆内，另点在圆外，求的范围解析点,在圆上，，故点在圆外，点在圆内，故考点三与圆有关的最值问题例已知和满足，试求的最值的最值分析首先观察满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，最后结合图形求出其最值或范围解析据题意知表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大和最小值原点,到圆心,的距离，故圆上的点到坐标原点的最大距离为，最小距离为因此的最大值和最小值分别为和令并将其变形为问题转化为斜率为的直线在经过圆上的点时在轴上的截距的最值当直线和圆相切时在轴上的截距取得最大值和最小值，此时有，解得，即最大值为，最小值为点评数形结合思想能有效地找到解题的捷径，解题时找到圆心和半径，分析待求数学表达式的几何意义，将“数”与“形”有机地结合起来是求解与圆有关的最值问题的关键变式探究已知实数，满足，求的最大值的最小值解析解题的关键在于所求两个式的几何意义要看清，可以看作，其几何意义为,点与圆上动点连线的斜率的几何意义，将“数”与“形”有机地结合起来是求解与圆有关的最值问题的关键变式探究已知实数，满足，求的最大值的最小值解析解题的关键在于所求两个式的几何意义要看清，可以看作，其几何意义为,点与圆上动点连线的斜率可看作，其几何意义为直线在轴上的截距由此再结合图形可求得将实数，看做点，的坐标，满足的点，组成的图形是以,为圆心，为半径的圆，如图设，即是圆上的点与原点连线的斜率由图知直线和圆在第象限相切时，取最大值此时有⊥，此时，的最大值是设，则，是直线在轴上的截距由图知当直线和圆在第四象限相切时取最小值此时有，解得的最小值是考点四圆的标准方程的应用例已知圆拱桥，当水面距拱顶米时，水面宽米，当水面下降米后，水面宽多少米分析桥是圆拱桥，可通过建立适当的平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，然后根据圆的对称性求水面宽度解析以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为轴，以过拱顶的竖直直线为轴建立如图所示的直角坐标系，则，设圆的标准方程为将，的坐标代入方程得圆的标准方程为当水面下降米后，可设点，将，代入圆的标准方程，求得，水面下降米，水面宽为米点评解决圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面变式探究已知隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线的侧行驶，问辆宽为，高为的货车能不能驶入解析以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径所在的直线为轴，过圆心且垂直于直径的直线为轴，建立直角坐标系如图，那么半圆的方程为将代入圆方程，得，即在离中心线米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道新思维随堂自测已知圆方程，则点,是圆心在圆上在圆内在圆外解析，点,在圆内答案圆的圆心到直线的距离为解析直线可化为，圆的圆心为答案点,与圆的位置关系是点在圆上点在圆内点在圆外不确定解析，点在圆外答案已知圆的方程为，则圆心到直线的距离为解析由圆的标准方程可知，圆心为再根据点到直线的距离公式得答案已知圆心为的圆经过点,和且圆心在直线上，求圆心为的圆的标准方程解析线段的垂直平分线经过圆心线段中点为故的方程为，即的坐标是方程组的解，解此方程组得，所以的坐标是，又，故圆心为的圆的标准方程是目标导航会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征重点能根据所给条件求圆的标准方程重点难点掌握点与圆的位置关系易错点新知识预习探究知识点圆的定义及圆的标准方程圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径确定圆的要素是，如下图所示圆的标准方程圆心为半径长为的圆的标准方程是当时，方程为，表示以为圆心半径为的圆圆心和半径原点练习求满足下列条件的圆的标准方程经过两点且圆心在轴上圆心在轴上，半径为，且过点，解析圆心在轴上，设圆的标准方程是圆经过两点，，，圆的标准方程是设圆心在轴上，半径为的圆的标准方程为点在圆上，或故所求圆的标准方程为或知识点二点和圆的位置关系圆，其圆心为半径为，点设位置关系与的大小图示点的坐标的特点点在圆外点在圆上点在圆内练习下列点中，在以，为圆心，为半径的圆内的是解析选项判断原因分析求得圆的方程为，将，代入可得，因此，在圆外，故错将，代入可得，因此，在圆外，故错将,代入可得，因此,在圆外，故错答案新视点名师博客求圆的标准方程的常用方法几何法利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程得结果待定系数法由三个条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程它是求圆的方程最常用的方法，般步骤是先设方程，再列式，后求解确定圆的标准方程需具备的条件圆的标准方程中有三个参数，要确定圆的方程需要确立这三个参数，其中圆心，是圆的定位条件，半径是圆的定量条件新课堂互动探究考点圆的标准方程例求下列圆的标准方程圆心是且过点圆心在轴上，半径为，且过点过点，和直线相切，并且圆心在直线上分析确定圆的标准方程主要是确定圆心和半径，可先设出圆心和半径，然后求解解析，圆的标准方程为设圆心为则，或，圆心为,或又，圆的标准方程为或圆心在上，设圆心为则圆心到直线的距离为，又圆过点，由得，或圆的标准方程为或点评确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于的方程组，求或直接求出圆心，和半径，般步骤为根据题意，设所求的圆的标准方程为根据已知条件，建立关于的方程组解方程组，求出的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程变式探究求圆心在直线上，且过点，的圆的标准方程解析法设点为圆心，点在直线上，可设点的坐标为，又该圆经过，两点，，解得圆心坐标为半径故所求圆的标准方程为法二设所求圆的标准方程为，由条件知，解得故所求圆的标准方程为考点二点与圆的位置关系例已知圆心在点且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点，和圆的位置关系分析求圆的标准方程求的方程组，求或直接求出圆心，和半径，般步骤为根据题意，设所求的圆的标准方程为根据已知条件，建立关于的方程组解方程组，求出的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程变式探究求圆心在直线上，且过点，的圆的标准方程解