球的体积和表面积公式易混点会用球的体积与表面积公式解决实际问题重点会解决球的组合体及三视图中球的有关问题难点新知识预习探究知识点球的表面积和体积球的表面积公式和体积公式练习已知球的直径为，求它的表面积和体积已知球的表面积为，求它的体积解析直径为，半径，表面积球，体积球球球知识点二球的有关性质用个平面去截个球，截面是圆面，球的截面有以下性质球心和截面圆圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离与球的半径及截面的半径满足关系练习已知过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的半，且求球的表面积与球的体积解析如图，设球心为，球半径为，作垂直平面于，由于，则是的外心设是的中点，由于，则在上设，易知⊥，则，又，解得则在圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形，截球面得球的大圆设球的半径，则它的外切圆柱的高为，底面半径为，球体积之比为解析设球半径为，因为球的体积为，所以，又由球的直径与其内接正方体对角线相等知正方体的对角线长为，设正方体的棱长为，则，如图，等边为体对角线相等知正方体的对角线长为，设正方体的棱长为，则，如图，等边为，则正方体的棱长为球与它的外切圆柱外切等边圆锥轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥的长为球与它的外切圆柱外切等边圆锥轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥的体积之比为解析设球半径为，因为球的体积为，所以，又由球的直径与其内接正方几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算变式探究天津高考已知个正方体的所有顶点在个球面上若球的体积为，则正方体的棱的解决策略处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心对角线的中点等解决此类问题的实质就是根据面得截面，如图，所以有所以正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以有所以点评常见的几何体与球的切接问题体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有所以球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角合体例有三个球，第个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积分析作出截面图，分别求出三个球的半径解析设正方体的棱长为正方，于是，即即又，球的表面积为答案考点三与球有关的组求出球的半径如图所示，设以为半径的截面面积为，以为半径的截面面积为球的半径为那么可得下列关系式且，且球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题变式探究已知球的两平行截面的面积为和，它们位于球心的同侧，且相距为，求这个球的表面积解析根据已知条件，通过解三角形列出方程式，中解得，不合题意，舍去综上所述，球的表面积为点评球的轴截面过球心的截面是将球的问题立体几何问题转化为圆的问题平面问题的关键，因此在解决两截面圆的圆心，则⊥，⊥设球的半径为，设，则在中，在解得球球的表面积为当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知，，且分别为⊥，⊥，设球的半径为，设，则在中在中求球的表面积分析根据球心与截面的位置同侧或异侧画出截面图求解解析当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知，，且分别为两截面圆的圆心，则，求球的表面积分析根据球心与截面的位置同侧或异侧画出截面图求解解析当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知，，且分别为两截面圆的圆心，则⊥，⊥，设球的半径为，设，则在中在中，解得球球的表面积为当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知，，且分别为两截面圆的圆心，则⊥，⊥设球的半径为，设，则在中，在中解得，不合题意，舍去综上所述，球的表面积为点评球的轴截面过球心的截面是将球的问题立体几何问题转化为圆的问题平面问题的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题变式探究已知球的两平行截面的面积为和，它们位于球心的同侧，且相距为，求这个球的表面积解析根据已知条件，通过解三角形列出方程式，求出球的半径如图所示，设以为半径的截面面积为，以为半径的截面面积为球的半径为那么可得下列关系式且，且，于是，即即又，球的表面积为答案考点三与球有关的组合体例有三个球，第个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积分析作出截面图，分别求出三个球的半径解析设正方体的棱长为正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有所以球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以有所以正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以有所以点评常见的几何体与球的切接问题的解决策略处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心对角线的中点等解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算变式探究天津高考已知个正方体的所有顶点在个球面上若球的体积为，则正方体的棱长为球与它的外切圆柱外切等边圆锥轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥的体积之比为解析设球半径为，因为球的体积为，所以，又由球的直径与其内接正方体对角线相等知正方体的对角线长为，设正方体的棱长为，则，如图，等边为，则正方体的棱长为球与它的外切圆柱外切等边圆锥轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥的体积之比为解析设球半径为，因为球的体积为，所以，又由球的直径与其内接正方体对角线相等知正方体的对角线长为，设正方体的棱长为，则，如图，等边为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形，截球面得球的大圆设球的半径，则它的外切圆柱的高为，底面半径为，球，柱，锥，球∶柱∶锥∶∶答案∶∶考点四根据三视图计算球的表面积和体积例个几何体的三视图如图所示单位求该几何体的表面积求该几何体的体积分析本题条件中给出的是几何体的三视图及数据，解题时要先根据俯视图来确定几何体的上下部分形状，然后根据侧视图与正视图确定几何体的形状，并根据有关数据计算解析由三视图知该几何体是个组合体，下半部分是棱长为的正方体，上半部分是半径为的半球该几何体的表面积为，体积为点评三视图中球的有关计算问题由三视图求简单组合体的表面积或体积时，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉等变式探究下图是几何体的三视图，则该几何体的体积为解析由三视图可得几何体为长方体与球的组合体，故体积为答案新思维随堂自测两个球的半径之比为∶，那么两个球的表面积之比为∶∶∶∶解析∶∶答案用与球心距离为的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为解析设球的半径为，则截面圆的半径为，截面圆的面积为球的表面积答案如图是个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是解析由正视图可知，该几何体的上部分是半径为的球，下部分是底面半径为，高为的圆柱由面积公式可得该几何体的表面积是答案新课标全国卷Ⅰ如图，有个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为解析如图所示，取球与正方体对棱相切的两点则，设球半径，与相交于点，则在中，由，可得，解得，则球的体积答案盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为，两个直径为的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少解析设取出小球后，容器中水面下降，两个小球的体积为球，此体积即等于它们在容器中排开水的体积，所以，所以即若取出这两个小球，水面将下降目标导航了解并掌握球的体积和表面积公式易混点会用球的体积与表面积公式解决实际问题重点会解决球的组合体及三视图中球的有关问题难点新知识预习探究知识点球的表面积和体积球的表面积公式和体积公式练习已知球的直径为，求它的表面积和体积已知球的表面积为，求它的体积解析直径为，半径，表面积球，体积球球球知识点二球的有关性质用个平面去截个球，截面是圆面，球的截面有以下性质球心和截面圆圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离与球的半径及截面的半径满足关系练习已知过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的半，且求球的表面积与球的体积解析如图，设球心为，球半径为，作垂直平面于，由于，则是的外心设是的中点，由于，则在上设，易知⊥，则，又，解得则在中，由勾股定理得，解得故球，球新视点名师博客对球的表面积与体积公式的几点认识从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定都有唯确定的和与之对应，故表面积和体积是关于的函数无论所给具体题目的条件如何变化，始终从公式出发，“缺什么，找什么，要什么，求什么”，紧紧围绕能求出球的半径的目的思考球的表面积和体积公式中均含有，如不加特殊说明，结果中保留即可球的大圆与小圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径，被不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆新课堂互动探究考点球的表面积和体积例已知球的直径为，求它的表面积和体积已知球的表面积为，求它的体积已知球的体积为，求它的表面积分析借助公式，求出球的半径，再根据表面积与体积公式求解解析直径为，半径，表面积球，体积球球球球球点评求球的表面积与体积的方法把握住球的表面积公式球，球的体积公式球是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件把握住这两点，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方，两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方变式探究若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比解析结合已知关系式，利用圆锥的高分别表示圆锥的底面半径，母线长，及球的半径，再根据圆锥侧面积与球表面积公式求解答案设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，球的半径为，则由题意得圆锥侧，球，圆锥侧球考点二球的截面问题例个球内有相距的两个平行截面，它们的面积分别为，和，求球的表面积分析根据球心与截面的位置同侧或异侧画出截面图求解解析当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知，，且分别为两截面圆的圆心，则⊥，⊥，设球的半径为，设，则在中在中，解得球球的表面积为当