例已知等差数列中，记，分析从已知条件分析，可用基本量法解决问题，即由，，可解出，练练趁热打铁若是等差数列的前项和，且，则的值为答案在等差数列中，已知，则答案解析依题意，所以或等差数列的性质背背基础知识等差数列的常用性质通项推广为数列的公差若，∈，则特别地仍成等比数列，其公比为讲讲基本技能必备技能等比数列的单调性或为递减数列为非零常数列④为摆动数列等比铁等比数列的，„为等比数列，公比为即项数成等差数列则对应项成等比等比数列前项和的性质公比不为的等比数列的前项和为，则，若成等差数列，则等于或或分析由已知有，这个等式的等比数列的的前项和，我们分析下公比是否可能为，即要分类讨论，在时，利用前项和公比可求得练练趁热打项不成等比即可典型例题例正项等比数列的公比为，若，则的值是分析由等比数列的通项公式可得，也可利用等比数列的性质解题例已知等比数列公比为，其前项和为≠，≠则是等比数列需要说明的是对于第二种方法适用于任何题型，强调推理过程，而第三四种方法适合于选择填空题，强调结论的应用，若要判定个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三数列是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成，均为不为的常数，∈，则是等比数列④前项和公式法若数列的前项和为常数且等比数列的判定方法定义法若为非零常数或为非零常数且，则是等比数列中项公式法若数列中≠且∈，则于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意相除消元的方法，同时要注意整体代入换元思想方法的应用在涉及等比数列前项和公式时要注意对公式是否等于的判断和讨论比数列的前项和公式等比数列的公比为≠，其前项和为，当时当≠时，讲讲基本技能必备技能对么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则它的通项等比中项若，那么叫做与的等比中项等的前项和为，且，，则使得的最小的为答案等比数列的概念与运算背背基础知识等比数列的定义如果个数列从第二项开始每项与它的前项的比都等于同个常数，那的值为来源答案解析由等差数列性质知，故，而设等差数列，则分析直接由等差数列的性质可得，则，又，得，所以，所以练练趁热打铁在等差数列中，若，则分析利用等差数列的性质可得，则有解析在等差数列中，答案为例等差数列中，若，最值，是把转化成的二次函数求最值二是由或找到使等差数列的前项和取得最小值或最大值的项数，代入前项和公式求最值典型例题例在等差数列中，已知，则该数列前项和则偶奇若为奇数，则奇偶中中间项数列也是等差数列，其中均为常数，是等差数列公差不为的等差数列，求其前项和的别若，则„仍是等差数列，公差为数列，„也是等差数列，公差为④若为偶数，则别若，则„仍是等差数列，公差为数列，„也是等差数列，公差为④若为偶数，则偶奇若为奇数，则奇偶中中间项数列也是等差数列，其中均为常数，是等差数列公差不为的等差数列，求其前项和的最值，是把转化成的二次函数求最值二是由或找到使等差数列的前项和取得最小值或最大值的项数，代入前项和公式求最值典型例题例在等差数列中，已知，则该数列前项和分析利用等差数列的性质可得，则有解析在等差数列中，答案为例等差数列中，若，，则分析直接由等差数列的性质可得，则，又，得，所以，所以练练趁热打铁在等差数列中，若，则的值为来源答案解析由等差数列性质知，故，而设等差数列的前项和为，且，，则使得的最小的为答案等比数列的概念与运算背背基础知识等比数列的定义如果个数列从第二项开始每项与它的前项的比都等于同个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则它的通项等比中项若，那么叫做与的等比中项等比数列的前项和公式等比数列的公比为≠，其前项和为，当时当≠时，讲讲基本技能必备技能对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意相除消元的方法，同时要注意整体代入换元思想方法的应用在涉及等比数列前项和公式时要注意对公式是否等于的判断和讨论等比数列的判定方法定义法若为非零常数或为非零常数且，则是等比数列中项公式法若数列中≠且∈，则数列是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成，均为不为的常数，∈，则是等比数列④前项和公式法若数列的前项和为常数且≠，≠则是等比数列需要说明的是对于第二种方法适用于任何题型，强调推理过程，而第三四种方法适合于选择填空题，强调结论的应用，若要判定个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可典型例题例正项等比数列的公比为，若，则的值是分析由等比数列的通项公式可得，也可利用等比数列的性质解题例已知等比数列公比为，其前项和为，若成等差数列，则等于或或分析由已知有，这个等式的等比数列的的前项和，我们分析下公比是否可能为，即要分类讨论，在时，利用前项和公比可求得练练趁热打铁等比数列的，„为等比数列，公比为即项数成等差数列则对应项成等比等比数列前项和的性质公比不为的等比数列的前项和为，则仍成等比数列，其公比为讲讲基本技能必备技能等比数列的单调性或为递减数列为非零常数列④为摆动数列等比数列其他性质若数列是等比数列，则≠，也是等比数列，若是等比数列，则也是等比数列数列„仍成等比数列若等比数列的项数为，则偶奇，其中偶，奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和④，∈典型例题例在正项等比数列中，，则的值是分析这题要用到等比数列的性质例设是公差不为的等差数列，，且成等比数列，则的值为分析三个数成等比数列，则有，然后再借助于等差数列的基本量可得结论练练趁热打铁在各项都为正数的等比数列中，，前三项的和为，则答案解析设等比数列的公比为，则，由于，，化简得，解得，，故选等差数列的前项和为已知，且成等比数列，则的通项公式为答案或选择题分已知数列是等差数列，且，则的值为中华资源库答案解析，所以，设是等差数列的前项和，则答案等差数列中，公差，且，数列是等比数列，且则答案解析在等差数列中，由，得，，则，，又因是等比数列，且，则，舍，又由，三个实数成等差数列，首项是，若将第二项加第三项加可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是答案已知，且成等比数列，则有最小值最小值最大值最大值答案解析且成等比数列，，即，故已知等差数列的公差，若，则答案若数列的前项和为，则数列的通项公式是答案解析当时，当时，，故所以已知数列满足则的前项和等于答案已知数列为等比数列，若，则的值为答案解析是等比数列，题中又出现了数列中的两项的积，故可应用其性质，这样就有数列前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立则实数的最小值为答案设数列的前项和为，若，，则答案已知数列的前项和，正项等比数列中，，则答案二填空题分等差数列中，若则答案解析根据等差数列的性质，把两条件式相加得，已知数列，都是公差为的等差数列，其首项分别为且，，设，则数列的前项和等于答案解析数列到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前项的和表示出来，数列中，已知对任意，，则答案专题等差数列与等比数列等差数列的概念与运算背背基础知识等差数列的定义如果个数列从第二项开始每项与前项的差都等于同个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是等差中项如果，那么叫做与的等差中项等差数列的前项和公式的推导等差数列的前项和公式是用倒序相加法求得的等差数列的前项和公式讲讲基本技能必备技能等差数列的判定通常有两种方法第种是利用定义，常数，第二种是利用等差中项，即解选择填空题时，亦可用通项或前项和直接判断通项法若数列的通项公式为的次函数，即是常数，则是等差数列前项和法若数列的前项和是的形式，是常数，则为等差数列等差数列可以由首项和公差确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕和进行对于等差数列问题般要给出两个条件，可以通过列方程求出，如果再给出第三个条件就可以完成的知三求二问题这体现了用方程的思想解决问题典型例题例已知数列为等差数列，且，，则分析本题考查等差数列的通项公式，只要把用，表示出来，解出，再利用通项公式就可求得解析，例已知等差数列中，记，分析从已知条件分析，可用基本量法解决问题，即由，