有关的几何概型例重庆,文在区间,上随机地选择个数,则方程有两个负根的概率为如图,四边形为矩形,在内任作射线,则射线与线段有公共点的概率为答案解析解析关闭当方程有两个负根和时,应有𝑝𝑝𝑝,解得𝑝或𝑝所以或,即,由几何概型的概率计算公式可知所求概率为因为在内任作射线,则等可能基本事件为“内作射线”,所以它的所有等可能事件所在的区域是,当射线与线段有案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混思考如何把看似与几何概型无关的知识转化成与几何概型的量度有关的问题解题心得处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是,通过转化,将事件所包含𝑏𝑎𝑏𝑏又画出满足不等式组的平面区域,如图阴影部分所示,求得阴影部分的面积为,故所求的概率𝑆阴影𝑆矩形答上分别取个数,记为则方程𝑥𝑎𝑦𝑏表示焦点在轴上,且离心率小于的椭圆的概率为答案解析解析关闭方程𝑥𝑎𝑦𝑏表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆,故𝑎,其几何意义表示为以,为圆心,为半径的圆面,如图所示,而所表示的区域如图中阴影部分,故−答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混在区间,和,易混考点几何概型与非几何知识的综合例陕西,文设复数,,若,则的概率为−−答案解析解析关闭𝑥𝑦故选正方体的体积为,以为球心,为半径且在正方体内部的半球的体积为,则点到点的距离大于的概率为答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错如图,矩形中,易得≌,因此故阴影部分的面积四边形所求概率𝑆𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷,解得如题图,因为射线在坐标系内是等可能分布的,所以落在内的概率为答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点与面积体积有关的几何概型例福建,文线落在内的概率为答案解析解析关闭由题意知,当时,满足的概率为𝑚𝑚𝑚,解得舍去当时,所求概率为𝑚算核心考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练在区间,上随机地取个数,若满足的概率为,则如图所示,在直角坐标系内,射线落在角的终边上,任作条射线,则射确定几何概型的概率用长度或角度的比来求解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算当考察对象为线时,般用角度比计有公共点时,射线落在内,区域为,所以射线与线段有公共点的概率为𝐶𝐴𝐵𝐷𝐴𝐵答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混思考如何由几何概型的概率计算公式可知所求概率为因为在内任作射线,则等可能基本事件为“内作射线”,所以它的所有等可能事件所在的区域是,当射线与线段关闭当方程有两个负根和时,应有𝑝𝑝𝑝,解得𝑝或𝑝所以或,即,个数,则方程有两个负根的概率为如图,四边形为矩形,在内任作射线,则射线与线段有公共点的概率为答案解析解析得到的是次的频率,所以相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值可能相等也可能不相等核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点与长度角度有关的几何概型例重庆,文在区间,上随机地选择,不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的,古典概型中基本事件的个数是有限的在几何概型的试验中,事件的概率只与子区域的几何度量长度面积或体积成正比,而与的位置和形状无关随机模拟得,不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的,古典概型中基本事件的个数是有限的在几何概型的试验中,事件的概率只与子区域的几何度量长度面积或体积成正比,而与的位置和形状无关随机模拟得到的是次的频率,所以相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值可能相等也可能不相等核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点与长度角度有关的几何概型例重庆,文在区间,上随机地选择个数,则方程有两个负根的概率为如图,四边形为矩形,在内任作射线,则射线与线段有公共点的概率为答案解析解析关闭当方程有两个负根和时,应有𝑝𝑝𝑝,解得𝑝或𝑝所以或,即,由几何概型的概率计算公式可知所求概率为因为在内任作射线,则等可能基本事件为“内作射线”,所以它的所有等可能事件所在的区域是,当射线与线段有公共点时,射线落在内,区域为,所以射线与线段有公共点的概率为𝐶𝐴𝐵𝐷𝐴𝐵答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混思考如何确定几何概型的概率用长度或角度的比来求解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算当考察对象为线时,般用角度比计算核心考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练在区间,上随机地取个数,若满足的概率为,则如图所示,在直角坐标系内,射线落在角的终边上,任作条射线,则射线落在内的概率为答案解析解析关闭由题意知,当时,满足的概率为𝑚𝑚𝑚,解得舍去当时,所求概率为𝑚,解得如题图,因为射线在坐标系内是等可能分布的,所以落在内的概率为答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点与面积体积有关的几何概型例福建,文如图,矩形中,易得≌,因此故阴影部分的面积四边形所求概率𝑆𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷,故选正方体的体积为,以为球心,为半径且在正方体内部的半球的体积为,则点到点的距离大于的概率为答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点几何概型与非几何知识的综合例陕西,文设复数,,若,则的概率为−−答案解析解析关闭𝑥𝑦其几何意义表示为以,为圆心,为半径的圆面,如图所示,而所表示的区域如图中阴影部分,故−答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混在区间,和,上分别取个数,记为则方程𝑥𝑎𝑦𝑏表示焦点在轴上,且离心率小于的椭圆的概率为答案解析解析关闭方程𝑥𝑎𝑦𝑏表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆,故𝑎𝑏𝑎𝑏𝑏又画出满足不等式组的平面区域,如图阴影部分所示,求得阴影部分的面积为,故所求的概率𝑆阴影𝑆矩形答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混思考如何把看似与几何概型无关的知识转化成与几何概型的量度有关的问题解题心得处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是,通过转化,将事件所包含的基本事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来如把这两个变量分别作为个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的个区域,进而转化为面积的度量来解决核心考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练若则的值使得过,可以作两条直线与圆相切的概率等于在区间,上任取个实数,使得不等式在,上恒成立的概率为答案解析解析关闭点在圆外,过该点可作两条直线与圆相切故使圆心与点的距离大于半径即可,即,解得,所以所求,所求概率要使在,上恒成立,只需,即𝑥在,上恒成立又𝑥,当且仅当时等号成立,所以只需,所以由几何概型的概率计算公式可知所求概率为答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混两种常见几何概型的解决方法线型几何概型当基本事件只受个连续的变量控制时般是把这个变量看成条线段或角,即可借助于线段或角度的度量比来求解面型几何概型当基本事件受两个连续的变量控制时,般是把这两个变量分别作为个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的个区域,进而转化为面积的度量来解决对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位置无关转化思想的应用很多几何概型往往要通过定的手段才能转化到几何度量值的计算上来,在解决问题时,要善于根据问题的具体情况进行转化,这种转化策略是解决几何概型试题的关键如建立坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式计算等核心考点考点考点考点知识方法易错易混解决几何概型问题时,有两点容易造成失分是不能正确判断事件是古典概型还是几何概型二是利用几何概型的概率公式时,忽视事件是否等可能几何概型考纲要求考纲要求了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率了解几何概型的意义知识梳理几何概型定义向平面上有限区域集合内随机地投掷点,若点落在子区域⫋的概率与的面积成正比,而与的形状位置无关,即点落在,则称这种模型为几何概型几何概型试验的两个基本特点无限性在次试验中,可能出现的结果有无限多个等可能性每个结果的发生具有等可能性几何概型中,事件的概率计算公式的扩展𝐺的面积𝐺的面积构成事件𝐴的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积双击自测下列结论正确的打,错误的打“”几何概型中,每个基本事件就是从个特定的几何区域内随机地取点,该区域中的每点被取到的机会相等在几何概型定义中的区域可以是线段平面图形立体图形与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率双击自测山东,文在区间,上随机地取个数,则事件发生的概率为答案解析解析关闭由𝑥,得𝑥,所以,所以由几何概型可知,事件发生的概率为答案解析关闭双击自测河北保定模在边长为的正方形内任取点,则的概率为答案解析解析关闭如图正方形的边长为,图中白色区域是以为直径的半圆,当落在半圆内时,,所以使的概率𝑆半圆𝑆正方形故选答案解析关闭双击自测西宁检测已知球内切于棱长为的正方体,若在正方体内任取点,则这点不在球内的概率为答案解析解析关闭由题意知球的半径为,其体积为球,正方体的体积为正方体,则这点不在球内的概率答案解析关闭双击自测点为周长等于的圆周上的个定点,若在该圆周上随机取点,则劣弧的长度小于的概率为𝐴𝐵答案解析解析关闭如图,可设𝐴𝐵与𝐴𝐵的长度等于,则由几何概型可知其概率是答案解析关闭双击自测自测点评“几何概型”与“古典概型”两者共同点是基本事件的发生是等可能的,不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的,古典概型中基本事件的个数是有限的在几何概型的试验中,事件的概率只与子区域的几何度量长度面积或体积成正比,而与的位置和形状无关随机模拟得到的是次的频率,所以相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值可能相等也可能不相等核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点与长度角度有关的几何概型例重庆,文在区间,上随机地选择个数,则方程有两个负根的概率为如图,四边形为矩形,在内任作射线,则射线与线段有公共点的概率为答案解析解析关闭当方程有两个负根和时,应有𝑝𝑝𝑝,解得𝑝或𝑝所以或,即,由几何概型的概率计算公式可知所求概率为因为在内任作射线,则等可能基本事件为“内作射线”,所以它的所有等可能事件所在的区域是,当射线与线段有得到的是次的频率,所以相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值可能相等也可能不相等核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点与长度角度有关的几何概型例重庆,文在区间,上随机地选择关闭当方程有两个负根和时,应有𝑝𝑝𝑝,解得𝑝或𝑝所以或,即,有公共点时