核心考点考点考点考点知识方法易错易混由已知得,三棱锥的体积故从而可得所以的面积为,的面积与的解设,在菱形中,由,可得因为⊥𝑥所以在中,可得由⊥平面,知为直角三角形,可得侧面积核心考点考点考点考点知识方法易错易混证明因为四边形为菱形,所以⊥因为⊥平面,所以⊥故⊥平面又⫋平面,所以平面⊥平面考点知识方法易错易混对点训练如图,四边形为菱形,为与的交点,⊥平面证明平面⊥平面若,⊥,三棱锥的体积为,求该三棱锥的面相交的特殊情形由平面和平面垂直的判定定理可知,要证明平面与平面垂直,可转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直平面和平面垂直的判定定理的两个条件⫋,⊥,缺不可核心考点考点考点,所以⊥因此,⊥平面而⫋平面,所以,平面⊥平面核心考点考点考点考点知识方法易错易混思考证明面面垂直的常用方法有哪些解题心得两个平面互相垂直是两个平,直三棱柱的底面是边长为的正三角形分别是,的中点证明平面⊥平面证明因为三棱柱是直三棱柱,所以⊥又是正三角形的边的中点∩,可得⊥平面⫋平面,⊥又∩,⊥平面,即⊥平面核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点平面与平面垂直的判定与性质例如图⊥,又∩,⊥平面⫋平面,⊥解所求点即为点,证明如下由可知⊥,取的中点,连接由⊥,⊥,的中点,为棱的中点求证直线⊥直线在线段上求点,使得直线⊥平面核心考点考点考点考点知识方法易错易混证明连接,由正方体的性质可知,⊥,角直径所对的圆周角菱形的对角线互相垂直直角三角形或给出线段长度,经计算满足勾股定理直角梯形等等核心考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练如图,在正方体中,为棱置关系是相交且垂条也垂直于这个平面解题时,注意线线线面与面面关系的相互转化另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高中线和顶角的角平分线三线合矩形的内⫋平面,⊥答案解析关闭双击自测教材习题改编练习将图中的等腰直角三角形沿斜边的中线折起得到空间四面体如图,则在空间四面体中,与的位线,则⊥双击自测如图,为正方体的底面的中心,则下列直线中与垂直的是答案解析解析关闭由题易知,⊥平面,又⊥设,是两条不同的直线,是个平面,若,⊥,则⊥若两平面垂直,则其中个平面内的任意条直线垂直于另个平面若平面内的条直线垂直于平面内的无数条直线与另个平面垂直⊥⋂⊥⫋⇒⊥双击自测下列结论正确的打,错误的打“”已知直线若⊥,⊥,则直线与平面内的无数条直线都垂直,则垂直知识梳理判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果个平面经过另个平面的条垂线,那么这两个平面互相垂直⊥⫋⇒⊥性质定理两个平面垂直,则个平面内垂直于交线的直线垂直知识梳理判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果个平面经过另个平面的条垂线,那么这两个平面互相垂直⊥⫋⇒⊥性质定理两个平面垂直,则个平面内垂直于交线的直线与另个平面垂直⊥⋂⊥⫋⇒⊥双击自测下列结论正确的打,错误的打“”已知直线若⊥,⊥,则直线与平面内的无数条直线都垂直,则⊥设,是两条不同的直线,是个平面,若,⊥,则⊥若两平面垂直,则其中个平面内的任意条直线垂直于另个平面若平面内的条直线垂直于平面内的无数条直线,则⊥双击自测如图,为正方体的底面的中心,则下列直线中与垂直的是答案解析解析关闭由题易知,⊥平面,又⫋平面,⊥答案解析关闭双击自测教材习题改编练习将图中的等腰直角三角形沿斜边的中线折起得到空间四面体如图,则在空间四面体中,与的位置关系是相交且垂条也垂直于这个平面解题时,注意线线线面与面面关系的相互转化另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高中线和顶角的角平分线三线合矩形的内角直径所对的圆周角菱形的对角线互相垂直直角三角形或给出线段长度,经计算满足勾股定理直角梯形等等核心考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练如图,在正方体中,为棱的中点,为棱的中点求证直线⊥直线在线段上求点,使得直线⊥平面核心考点考点考点考点知识方法易错易混证明连接,由正方体的性质可知,⊥,⊥,又∩,⊥平面⫋平面,⊥解所求点即为点,证明如下由可知⊥,取的中点,连接由⊥,⊥,∩,可得⊥平面⫋平面,⊥又∩,⊥平面,即⊥平面核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点平面与平面垂直的判定与性质例如图,直三棱柱的底面是边长为的正三角形分别是,的中点证明平面⊥平面证明因为三棱柱是直三棱柱,所以⊥又是正三角形的边的中点,所以⊥因此,⊥平面而⫋平面,所以,平面⊥平面核心考点考点考点考点知识方法易错易混思考证明面面垂直的常用方法有哪些解题心得两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形由平面和平面垂直的判定定理可知,要证明平面与平面垂直,可转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直平面和平面垂直的判定定理的两个条件⫋,⊥,缺不可核心考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练如图,四边形为菱形,为与的交点,⊥平面证明平面⊥平面若,⊥,三棱锥的体积为,求该三棱锥的侧面积核心考点考点考点考点知识方法易错易混证明因为四边形为菱形,所以⊥因为⊥平面,所以⊥故⊥平面又⫋平面,所以平面⊥平面解设,在菱形中,由,可得因为⊥𝑥所以在中,可得由⊥平面,知为直角三角形,可得核心考点考点考点考点知识方法易错易混由已知得,三棱锥的体积故从而可得所以的面积为,的面积与的面积均为故三棱锥的侧面积为垂直关系考纲要求考纲要求以立体几何的定义公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理能运用公理定理和已获得的结论证明些空间图形的垂直关系的简单命题知识梳理直线与平面垂直直线和平面垂直的定义如果条直线和个平面内的任何条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直知识梳理判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果条直线和个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直线线垂直⇒线面垂直⊥⊥⋂⫋⫋⇒⊥性质定理如果两条直线同垂直于个平面,那么这两条直线平行⊥⊥⇒知识梳理直线与平面的夹角平面外条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角,角的范围是二面角的有关概念二面角从条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角二面角的平面角以二面角的棱上任点为端点,在两个半平面内分别作与棱垂直的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角,知识梳理平面与平面垂直平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直知识梳理判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果个平面经过另个平面的条垂线,那么这两个平面互相垂直⊥⫋⇒⊥性质定理两个平面垂直,则个平面内垂直于交线的直线与另个平面垂直⊥⋂⊥⫋⇒⊥双击自测下列结论正确的打,错误的打“”已知直线若⊥,⊥,则直线与平面内的无数条直线都垂直,则⊥设,是两条不同的直线,是个平面,若,⊥,则⊥若两平面垂直,则其中个平面内的任意条直线垂直于另个平面若平面内的条直线垂直于平面内的无数条直线,则⊥双击自测如图,为正方体的底面的中心,则下列直线中与垂直的是答案解析解析关闭由题易知,⊥平面,又⫋平面,⊥答案解析关闭双击自测教材习题改编练习将图中的等腰直角三角形沿斜边的中线折起得到空间四面体如图,则在空间四面体中,与的位置关系是相交且垂直相交但不垂直异面且垂直异面但不垂直答案解析解析关闭在题图中的等腰直角三角形中,斜边上的中线就是斜边上的高,则⊥,翻折后如题图,与变成异面直线,而原线段变成两条线段这两条线段与垂直,即⊥,⊥,故⊥平面,所以⊥答案解析关闭双击自测为所在平面外点,为在平面内的射影若线与另个平面垂直⊥⋂⊥⫋⇒⊥双击自测下列结论正确的打,错误的打“”已知直线若⊥,⊥,则直线与平面内的无数条直线都垂直,则线,则⊥双击自测如图,为正方体的底面的中心,则下列直线中与垂直的是答案解析解析关闭由题易知,⊥平面,又置关系是相交且垂条也垂直于这个平面解题时,注意线线线面与面面关系的相互转化另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高中线和顶角的角平分线三线合矩形的内的中点,为棱的中点求证直线⊥直线在线段上求点,使得直线⊥平面核心考点考点考点考点知识方法易错易混证明连接,由正方体的性质可知,⊥,∩,可得⊥平面⫋平面,⊥又∩,⊥平面,即⊥平面核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点平面与平面垂直的判定与性质例如图,所以⊥因此,⊥平面而⫋平面,所以,平面⊥平面核心考点考点考点考点知识方法易错易混思考证明面面垂直的常用方法有哪些解题心得两个平面互相垂直是两个平考点知识方法易错易混对点训练如图,四边形为菱形,为与的交点,⊥平面证明平面⊥平面若,⊥,三棱锥的体积为,求该三棱锥的解设,在菱形中,由,可得因为⊥𝑥所以在中,可得由⊥平面,知为直角三角形,可得