标系例已知个正比例函数和个次函数的图象交于点且次函数图象与轴交于点，求这两个函数的解析式在同坐标系中，分别画出这两个函数的图象在轴上找点，使得的最小值为创新题如图，在反比例函数上有两点在直线上有动点，当点的坐标为时，有最小值，用于平面直角坐分点，是直径上的个动点，半径为，则的最小值是对应训练如图，点，分别是反比例函数，在轴上方的图象上的点，点是轴上的动点，则，即的最小值为点评本题考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解对应训练如图，是半圆上的个二等分点，是半圆上的个六等，，又点是弧的中点，，，又，是等腰直角三角形，又在中，由勾股定理有点在上，，为弧的中点，为直径上的个动点，则的最小值点拨过点作关于的对称点，连接,连接，，弧是分别是边上动点，则的最小值是中，有点在上移动若的最小值为用于圆例如图，是的直径，是等边三角形，又点评本题考查的是线路最短问题及对称的性质，根据题意画出图形利用数形结合是解答此题的关键对应训练如图，在等边中是点拨过点作关于的对称点,过点作⊥于点交于点,连接点和，关于对称，是的垂直平分线又，，⊥,解得，用于特殊三角形例在中，，在，边上各取点，则的最小值，，又平分,，又,是等边三角形，又是的中点，是等边的高而又交于点，连接中，是的中点，是上的任意点，当的值最小时，求的长解连接四边形是菱形关于对称，又即的最小值是用于矩形例如图，在矩形中若点，分别是线段，上的两个动点，则的最小值为点拨如图，由题意可得，作点关于对称点，分，连接交于点,连接是的中点又在中，由勾股定理有又应训练在中，是边的中点，是上的个动点，则的最小值是点拨以为边作正方形，如图，连接，则与互相垂直平是，是上的点，且的长为，是其对角线上的个动点，则的最小值是点评本题考查了轴对称最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，确定点的位置是解题关键对点点点如图，立定跳远比赛时，小明从点起跳落在沙坑内处，跳远成绩是米，则小明从起跳点到落脚点的距离米填“大于”“小于”或“等于”大于用于正方形例正方形的边长是点点点如图，立定跳远比赛时，小明从点起跳落在沙坑内处，跳远成绩是米，则小明从起跳点到落脚点的距离米填“大于”“小于”或“等于”大于用于正方形例正方形的边长是，是上的点，且的长为，是其对角线上的个动点，则的最小值是点评本题考查了轴对称最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，确定点的位置是解题关键对应训练在中，是边的中点，是上的个动点，则的最小值是点拨以为边作正方形，如图，连接，则与互相垂直平分，连接交于点,连接是的中点又在中，由勾股定理有又即的最小值是用于矩形例如图，在矩形中若点，分别是线段，上的两个动点，则的最小值为点拨如图，由题意可得，作点关于对称点，交于点，连接中，是的中点，是上的任意点，当的值最小时，求的长解连接四边形是菱形关于对称，又，，又平分,，又,是等边三角形，又是的中点，是等边的高而又⊥,解得，用于特殊三角形例在中，，在，边上各取点，则的最小值是点拨过点作关于的对称点,过点作⊥于点交于点,连接点和，关于对称，是的垂直平分线又，，是等边三角形，又点评本题考查的是线路最短问题及对称的性质，根据题意画出图形利用数形结合是解答此题的关键对应训练如图，在等边中分别是边上动点，则的最小值是中，有点在上移动若的最小值为用于圆例如图，是的直径点在上，，为弧的中点，为直径上的个动点，则的最小值点拨过点作关于的对称点，连接,连接，，弧是，，又点是弧的中点，，，又，是等腰直角三角形，又在中，由勾股定理有即的最小值为点评本题考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解对应训练如图，是半圆上的个二等分点，是半圆上的个六等分点，是直径上的个动点，半径为，则的最小值是对应训练如图，点，分别是反比例函数，在轴上方的图象上的点，点是轴上的动点，则的最小值为创新题如图，在反比例函数上有两点在直线上有动点，当点的坐标为时，有最小值，用于平面直角坐标系例已知个正比例函数和个次函数的图象交于点且次函数图象与轴交于点，求这两个函数的解析式在同坐标系中，分别画出这两个函数的图象在轴上找点，使得的值最小，并求出其最小值和点的坐标专题最值问题美国著名数学家哈尔莫斯曾经说过“数学的真正部分是问题的解”毋庸置疑，学习数学就意味着解题解题，联想是基础，转化是手段，问题解决是目的如果说解题它是表达个命题从题设到结论的演变过程，那么联想与转化它可以迅速沟通这演变过程的作用联想是基础，转化是手段，灵活应用是关键，问题解决是目的，把握好这解题策略，对于我们学习数学，提高解题质量，提高学习成绩，可以起到事半功倍的作用在近几年的中考数学试题中，有个流传广泛的数学问题，它就是“将军饮马问题”，它的知识模型就是“已知直线，在直线的同侧有两点请你在直线上找点，使得之和最小”解决这个问题的基本方法是利用轴对称作直线的对称点利用两点之间线段最短即可它的几何模型如右图所示简易最值问题例如图中过点最短的条线段是例从直线外点，分别向已知直线画垂直线段和斜线，其中最短点评解答此题应明确点到直线的距离，垂线段最短垂线段对应训练如图，在铁路旁有李庄，现要建火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选点来建火车站，应建在点点点点如图，立定跳远比赛时，小明从点起跳落在沙坑内处，跳远成绩是米，则小明从起跳点到落脚点的距离米填“大于”“小于”或“等于”大于用于正方形例正方形的边长是，是上的点，且的长为，是其对角线上的个动点，则的最小值是点评本题考查了轴对称最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，确定点的位置是解题关键对应训练在中，是边的中点，是上的个动点，则的最小值是点拨以为边作正方形，如图，连接，则与互相垂直平分，连接交于点,连接是的中点又在中，由勾股定理有又即的最小值是用于矩形例如图，在矩形中若点，分别是线段，上的两个动点，则的最小值为点拨如图，由题意可得，作点关于对称点，交于点，连接，过点作⊥于点，交于点，连接，此时最小，在中，由勾股定理得，⊥，⊥，⊥，，是，是上的点，且的长为，是其对角线上的个动点，则的最小值是点评本题考查了轴对称最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，确定点的位置是解题关键对分，连接交于点,连接是的中点又在中，由勾股定理有又交于点，连接中，是的中点，是上的任意点，当的值最小时，求的长解连接四边形是菱形关于对称，又⊥,解得，用于特殊三角形例在中，，在，边上各取点，则的最小值是等边三角形，又点评本题考查的是线路最短问题及对称的性质，根据题意画出图形利用数形结合是解答此题的关键对应训练如图，在等边中，点在上，，为弧的中点，为直径上的个动点，则的最小值点拨过点作关于的对称点，连接,连接，，弧是，即的最小值为点评本题考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解对应训练如图，是半圆上的个二等分点，是半圆上的个六等的最小值为创新题如图，在反比例函数上有两点在直线上有动点，当点的坐标为时，有最小值，用于平面直角坐