，即，所以已知都是正数，求证证明因为，所以同理，相加得，从而由都是正数，得，因此比较法证明不等式的方法与步骤作差比较法作差比较法证明不等式的般步骤作差将不等式左右两边的式子看作个整体进行作差变形将差式进行变形，化简为个常数，或通分，因式分解变形为若干个因式的积，或配方变形为个或几个平方和等判号根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号结论肯定不等式成立的结论作差比较法的应用范围当被证的不等式两端是多项式分式或对数式时，般使用作差比较法作商比较法作商比较法证明不等式的般步骤作商将不等式左右两边的式子进行作商变形将商式的分子放缩，分母不变，或分子不变，分母放缩，或分子放缩，分母缩放，从而化简商式为容易和比较大小的形式判断判断商与的大小关系，就是判断商大于或小于或等于结论作商比较法的应用范围当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，般使用作商比较法提醒在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号求证当时，证明证法，所以证法二，所以当，，时，证明，当时，当时，当时，所以综合法证明不等式典例设均为正数，且，证明证明由得当且仅当时取等号由题设得，即所以，即证明因为，故当且仅当时取等号，即所以综合法证明不等式的方法与技巧综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件综合法证明时常用的不等式，它的变形形式有且，所以根据柯西不等式，可得，所以柯西不等式的常见类型及解题策略求表达式的最值依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件求解析式的值利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值证明不等式注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明已知关于的不等式的解集为求实数，的值解由，得，则解得，求的最大值解，当且仅当，即时等号成立，故方法与技巧证明不等式的方法和技巧如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题唯性命题，则考虑用反证法如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等在必要的情况下，可能还需要使用换元法构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式组求解多以绝对值的几何意义或“找零点分区间逐个解并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据失误与防范在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏在利用算术几何平均不等式或柯西不等式求最值时，要注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立利用算术几何平均数不等式求最值利用算术几何平均不等式证明或求最值问题，是不等式问题中的个重要类型，重点要抓住算术几何平均不等式的结构特点和使用条件已知均为正数，证明，并确定为何值时，等号成立证明因为均为正数，由算术几何平均不等式得，所以故又，所以原不等式成立当且仅当时，式和式等号成立当且仅当时，式等号成立即当且仅当时，原式等号成立已知函数，，且的解集为,求的值解，等价于，由有解，得，且其解集为又的解集为故若，且，求证解证明由知，又，由柯西不等式得温馨提醒多次运用算术几何平均不等式，注意化简错误求解等号成立时的注意计算出错考纲展示三年高考总结了解证明不等式的基本方法比较法综合法分析法，并能用它们证明些简单不等式从近三年高考情况来看，不等式的证明是高考中的个热点，题目以不等式的性质为基础来考查不等式的相关证明，题型以解答题为主，解题时注意比较法分析法综合法的应用比较法方法原理作差法⇔作商法⇔，综合法与分析法综合法从出发，利用定义公理定理性质等，经过系列的论证而得出命题成立分析法从出发，逐步寻求使它成立的条件，直至所需条件为已知条件或个明显成立的事实定义公理或已证明的定理性质等，从而得出要证的命题成立已知条件推理要证的结论充分反证法与放缩法反证法证明命题时先假设要证的命题，以此为出发点，结合，应用公理定义定理性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件或已证明的定理性质明显成立的事实等的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法放缩法证明不等式时，通过把不等式中的些部分的值，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法不成立已知条件矛盾放大或缩小三个正数的算术几何平均不等式定理如果那么，当且仅当时，等号成立即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均基本不等式的推广对于个正数„它们的算术平均数它们的几何平均数，即„„，当且仅当时，等号成立不小于„柯西不等式设，均为实数，则，当且仅当时等号成立若，为实数，则，当且仅当„当时，约定，„，时等号成立柯西不等式的向量形式设，为平面上的两个向量，则，当且仅当，共线时等号成立思考辨析用反证法证明命题“全为”时假设为“全不为”若实数适合不等式，则不等式„„„仅当时，等号成立若，则的最小值为解析根据算术几何平均不等式可得当且仅当时成立若实数，适合不等式则，解析，异号时，显然与矛盾，所以可排除，假设若，则与的大小关系是解析由得，所以即比较法证明不等式典例已知，都是正数，且，求证证明因为，都是正数，所以又因为，所以于是，即，所以已知都是正数，求证证明因为，所以同理，相加得，从而由都是正数，得，因此比较法证明不等式的方法与步骤作差比较法作差比较法证明不等式的般步骤作差将不等式左右两边的式子看作个整体进行作差变形将差式进行变形，化简为个常数，或通分，因式分解变形为若干个因式的积，或配方变形为个或几个平方和等判号根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号结论肯定不等式成立的结论作差比较法的应用范围当被证的不等式两端是多项式分式或对数式时，般使用作差比较法作商比较法作商比较法证明不等式的般步骤作商将不等式左右两边的式子进行作商变形将商式的分子放缩，分母不变，或分子不变，分母，即，所以已知都是正数，求证证明因为，所以同理，相加得，从而由都是正数，得，因此比较法证明不等式的方法与步骤作差比较法作差比较法证明不等式的般步骤作差将不等式左右两边的式子看作个整体进行作差变形将差式进行变形，化简为个常数，或通分，因式分解变形为若干个因式的积，或配方变形为个或几个平方和等判号根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号结论肯定不等式成立的结论作差比较法的应用范围当被证的不等式两端是多项式分式或对数式时，般使用作差比较法作商比较法作商比较法证明不等式的般步骤作商将不等式左右两边的式子进行作商变形将商式的分子放缩，分母不变，或分子不变，分母放缩，或分子放缩，分母缩放，从而化简商式为容易和比较大小的形式判断判断商与的大小关系，就是判断商大于或小于或等于结论作商比较法的应用范围当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，般使用作商比较法提醒在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号求证当时，证明证法，所以证法二，所以当，，时，证明，当时，当时，当时，所以综合法证明不等式典例设均为正数，且，证明证明由得当且仅当时取等号由题设得，即所以，即证明因为，故当且仅当时取等号，即所以综合法证明不等式的方法与技巧综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件综合法证明时常用的不等式，它的变形形式有