或探究提高对于复杂事件的概率，要先辨析事件的构成，理清各事件之间的关系，并依据互斥事件概率的和，或者相互事件概率的积的公式列出关系式含“至多”“至少”类词语的事件可转化为对立事件的概率求解并注意正难则反思想的应用即题目较难的也可从对立事件的角度考虑微题型重复试验的概率例合肥模拟在全国大学生智能汽车总决赛中，高校学生开发的智能汽车在个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动个单位，沿轴正方向移动的概率是，沿轴正方向移动的概率为，则该智能汽车移动次恰好移动到点，的概率为解析若该智能汽车移动次恰好到点则智能汽车在移动过程中沿轴正方向移动次沿轴正方向移动次，因此智能汽车移动次后恰好位于点，的概率为答案探究提高在解题时注意辨别重复试验的基本特征在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况在每次试验中，事件发生的概率相同训练甲乙丙三个同学起参加高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生可在高考中加分录取，两次考试过程相互根据甲乙丙三个同学的平时成绩分析，甲乙丙三个同学能通过笔试的概率分别是，能通过面试的概率分别是求甲乙丙三个同学中恰有人通过笔试的概率求经过两次考试后，至少有人被该高校预录取的概率解分别记“甲乙丙三个同学笔试合格”为事件表示事件“恰有个通过笔试”，则即恰有人通过笔试的概率是分别记“甲乙丙三个同学经过两次考试后合格”为事件，则事件表示“甲乙丙三人中至少有人被该高校预录取”则表示甲乙丙三人均没有被该高校预录取，即，于是即经过两次考试后，至少有人被预录取的概率是热点二离散型随机变量的分布列微题型利用相互事件互斥事件的概率求分布列例乒乓球台面被球网分隔成甲乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域乙被划分为两个不相交的区域次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定回球次，落点在上记分，在上记分，其他情况记分对落点在上的来球，队员小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为假设共有两次来球且落在，上各次，小明的两次回球互不影响求小明两次回球的落点中恰有次的落点在乙上的概率两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望解记为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为分”，则记为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为分”，则记为事件“小明两次回球的落点中恰有次落点在乙上”由题意由事件的性和互斥性，得因为所以故所求概率为顾客抽奖次可视为次重复试验，由知，顾客抽奖次获等奖的概率为，所以，于是，，，故的分布列为的数学期望为，方差探究提高对于实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从二项分布则其概率期望与方差可直接利用公式，„，求得，因此，熟记二项分布的相关公式，可以避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度微题型超几何分布例天津卷为推动乒乓球运动的发展，乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名乙协会的运动员名，其中种子选手名从这名运动员中随机选择人参加比赛设为事件“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同个协会”，求事件发生的概率设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望解由已知，有所以，事件发生的概率为随机变量的所有可能取值为所以随机变量的分布列为随机变量的数学期望探究提高对于实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从超几何分布，则其概率可直接利用公式„其中且训练班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是每位选手可以选择在区投篮次或选择在区投篮次，在区每进球得分，不进球得分在区每进球得分，不进球得分，得分高的选手胜出已知参赛选手在区和区每次投篮进球的概率分别是和如果该选手以在，区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问该选手应该选择哪个区投篮请说明理由求该选手在区投篮得分高于在区投篮得分的概率解设该选手在区投篮的进球数为，则故，则该选手在区投篮得分的期望为设该选手在区投篮的进球数为，则故，则该选手在区投篮得分的期望为所以该选手应该选择区投篮设“该选手在区投篮得分高于在区投篮得分”为事件，“该选手在区投篮得分且在区投篮得分或分”为事件，“该选手在区投篮分且在区投篮得分”为事件，则事件，且事件与事件互斥，，，故该选手在区投篮得分高于在区投篮得分的概率为概率与的区别发生时间不同在中，事件，的发生有时间上的差异，先后在中，事件，同时发生样本空间不同在中，事件成为样本空间在中，样本空间仍为总的样本空间，因而有求含有相互事件概率的基本思路把随机事件拆分为若干个互斥事件之和将拆分后的每个事件又分解为若干个相互事件之积根据相关的概型进行计算，例如相互且符合重复试验的事件，则利用重复试验概型的概率计算公式进行计算求解离散型随机变量的数学期望的般步骤为第步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义第二步是“探求概率”，即利用排列组合枚举法概率公式常见的有古典概型公式几何概型公式互斥事件的概率和公式事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等，求出随机变量取每个值时的概率第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确第四步是“求期望值”，般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从常见的典型分布如二项分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度第讲随机变量及其分布高考定位概率模型多考查重复试验相互事件互斥事件及对立事件等对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，多在解答题的前三题的位置呈现，常考查事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等真题感悟山东卷若是个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”如等在次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取个数，且只能抽取次得分规则如下若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被整除，参加者得分若能被整除，但不能被整除，得分若能被整除，得分写出所有个位数字是的“三位递增数”若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望解个位数是的“三位递增数”有，由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量的取值为，因此，所以的分布列为则考点整合条件概率发生的条件下发生的概率相互事件同时发生的概率重复试验如果事件在次试验中发生的概率是，那么它在次重复试验中恰好发生次的概率为„，超几何分布在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则„其中且此时称随机变量服从超几何分布超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是离散型随机变量的分布列设离散型随机变量ξ可能取的值为„„，ξ取每个值的概率为ξ，则称下表ξ„„„„为离散型随机变量ξ的分布列离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质„„，„ξ„„为随机变量ξ的数学期望或均值ξξξ„ξ„ξ叫做随机变量ξ的方差性质ξξ，ξξ则服从两点分布，则，热点相互事件重复试验概率模型微题型相互事件的概率例北京卷，两组各有位病人，他们服用种药物后的康复时间单位天记录如下组组假设所有病人的康复时间互相，从，两组随机各选人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙求甲的康复时间不少于天的概率如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率当为何值时两组病人康复时间的方差相等结论不要求证明解设事件为“甲是组的第个人”，事件为“乙是组的第个人”，„，由题意可知，„，由题意知，事件“甲的康复时间不少于天”等价于“甲是组的第人，或者第人，或者第人”，所以甲的康复时间不少于天的概率是设事件为“甲的康复时间比乙的康复时间长”由题意知，因此或探究提高对于复杂事件的概率，要先辨析事件的构成，理清各事件之间的关系，并依据互斥事件概率的和，或者相互事件概率的积的公式列出关系式含“至多”“至少”类词语的事件可转化为对立事件的概率求解并注意正难则反思想的应用即题目较难的也可从对立事件的角度考虑微题型重复试验的概率例合肥模拟在全国大学生智能汽车总决赛中，高校学生开发的智能汽车在个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动个单位，沿轴正方向移动的概率是，沿轴正方向移动的概率为，则该智能汽车移动次恰好移动到点，的概率为解析若该智能汽车移动次恰好到点则智能汽车在移动过程中沿轴正方向移动次沿轴正方向移动次，因此智能汽车移动次后恰好位于点，的概率为答案探究提高在解题时注意辨别重复试验的基本特征在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况在每次试验