当为奇数时综上所述，，为偶数为奇数探究提高在处理般数列求和时，定要注意使用转化思想把般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以般需要对项数进行讨论，最后再验证是否可以合并为个公式微题型裂项相消法求和例成都高三期末设数列的前项和为，对任意正整数都有求数列的通项公式，求„设解由，得两式相减得，即，由，得，数列是等比数列，公比，所以从而„探究提高裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和如本例，还有类隔项的裂项求和，如或微题型错位相减法求和例太原模拟已知数列的前项和为，且，，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式设的前项和为，证明证明因为，当时两式相减，得，即设，代入上式，得，即又，则，故所以故综上，对于正整数，都成立，即数列是等比数列，其首项，公比所以，故解由，得，故所以所以„„，得„得„„因为，所以探究提高近年高考对错位相减法求和提到了特别重要的位置上，常在解答题中出现，也是考纲对数列前项和的基本要求，错位相减法适用于求数列的前项和，其中为等差数列，为等比数列所谓“错位”，就是要找“同类项”相减要注意的是相减后得到部分等比数列的和，此时定要查清其项数训练设等差数列的公差为，点，在函数的图象上若，点，在函数的图象上，求数列的前项和若，函数的图象在点，处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和解由已知，有，解得所以函数在，处的切线方程为，它在轴上的截距为所以，从而所以„，„因此，„所以热点二数列中的不等式问题微题型利用数列单调性解决数列不等式问题例首项为正数的数列满足，证明若为奇数，则对切，都是奇数若对切都有，求的取值范围证明已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数根据数学归纳法，对任意，都是奇数解法由知，当且仅当或另方面，若，则若，则根据数学归纳法，⇔，∀，⇔，∀综合所述，对切都有的充要条件是或法二由，得，于是或，因为所以所有的均大于，因此与同号根据数学归纳法，∀，与同号因此，对切都有的充要条件是或探究提高涉及到数列不等式，比较大小或恒成立问题，经常用到作差法法用了作差法和数学归纳法法二将的符号问题转化为的符号问题，再由，的递推关系，求出的范围微题型放缩法解决与数列和有关的不等式例济南模拟已知正项数列的前项和为，且，求数列的通项公式设数列的前项和为，求证解，，又，当时，得由题意知，当，时即„，是首项为，公差为的等差数列当，时即„，是首项为，公差为的等差数列综上可知证明，„„又，„„即得探究提高数列与不等式的证明主要有两种题型利用对通项放缩证明不等式作差法证明不等式训练已知数列和满足„若为等比数列，且，求与设记数列的前项和为求求正整数，使得对任意均有解由题意„知又由，得公比，舍去，所以数列的通项为所以，„故数列的通项为由知，所以因为，当时，，而，得，所以，当时综上，对任意，恒有，故在使用关系式时，定要注意分，两种情况考虑，求出结果后，再分析这两种情况能否整合在起裂项后相消的规律裂项系数取决于前后两项分母的差裂项相消后前后保留的项数样多错位相减法的关注点适用题型等差数列乘以等比数列对应项型数列求和步骤求和时先乘以数列的公比把两个和的形式错位相减整理结果形式裂项求和的常见技巧数列与不等式综合问题如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法放缩法基本不等式的应用如果是解不等式，注意因式分解的应用第讲数列的求和及综合应用高考定位从全国卷来看，由于三角和数列问题在解答题中轮换命题，若考查数列解答题，则以数列的通项与求和为核心地位来考查，题目难度不大真题感悟全国Ⅰ卷为数列的前项和已知，求的通项公式设，求数列的前项和解由，可知可得，即由于，可得又，解得舍去，所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为由可知设数列的前项和为，则„„考点整合求和的常用方法公式法直接利用等差数列等比数列的求和公式求解倒序相加法适用于与首末等距离的两项之和等于首末两项之和，且和为常数的数列等差数列前项和公式的推导就使用了倒序相加法，利用倒序相加法求解数列前项和时，要把握数列通项公式的基本特征，即通过倒序相加可以得到个常数列，或者等差数列等比数列，从而转化为常见数列的求和方法，这也是数学转化与化归思想的具体体现错位相减法适用于各项由个等差数列和个等比数列对应项的乘积组成的数列把„两边同乘以相应等比数列的公比，得到„，两式错位相减即可求出裂相相消法即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如其中是各项均不为零的等差数列，为常数的数列拆项分组法把数列的每项拆成两项或多项，再重新组合成两个或多个简单的数列，最后分别求和并项求和法与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项或多项组合在起，重新构成个数列再求和，般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数奇偶性的讨论数列单调性的常见题型及方法如下求最大小项时，可利用数列单调性函数单调性导数求参数范围时，可利用作差法同号递推法先猜后证法数列中的不等式问题主要有证明数列不等式比较大小或恒成立问题，解决方法如下利用数列或函数的单调性放缩法先求和后放缩先放缩后求和，包括放缩后成等差或等比数列再求和，或者放缩后成等差比数列再求和，或者放缩后裂项相消后再求和数学归纳法热点数列求和微题型分组转化求和例等比数列中，分别是下表第，二，三行中的个数，且中的任何两个数不在下表的同列第列第二列第三列第行第二行第三行求数列的通项公式若数列满足，求数列的前项和解当时，不合题意当时，当且仅当，时，符合题意当时，不合题意因此，所以公比故因为，所以„„„当为偶数时，当为奇数时综上所述，，为偶数为奇数探究提高在处理般数列求和时，定要注意使用转化思想把般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以般需要对项数进行讨论，最后再验证是否可以合并为个公式微题型裂项相消法求和例成都高三期末设数列的前项和为，对任意正整数都有求数列的通项公式，求„设解由，得两式相减得，即，由，得，数列是等比数列，公比，所以从而