实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，像这个方程在实数范围内就无解，为了解决这类问题，需要把数的范围作进步的扩充为此，人们引入个新数，叫虚数单位，且规定可与实数进行四则运算，且原有的加乘运算律仍成立这样就产生了形如，的数叫复数，显然是的个平方根，即是方程的个解注意对虚数单位的性质的理解与实数之间可以运算，亦适合加减乘的运算律由于与实数集中矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立锦州期中计算答案解析二复数的有关概念与分类复数的有关概念设都是实数，形如的数叫做复数，复数通常用小写字母表示，即，其中叫做复数的实部叫做复数的虚部，称作虚数单位如和都是复数，它们的实部分别为和，它们的虚部分别为和另外，和也都是复数，它们的实部分别为和，它们的虚部分别为和特别地，也是复数，它的实部和虚部都是复数的分类复数，当时，就成为实数除了实数以外的数，即时，叫做虚数当，时，叫做纯虚数即复数，实数虚数纯虚数非纯虚数注意在复数中必须为实数，否则不是复数的代数形式⇔是虚数⇔为纯虚数⇔且⇔且复数集全体复数所构成的集合叫做复数集，复数集通常用大写字母表示，即实数集是复数集的真子集，即复数集实数集虚数集纯虚数集之间的关系，如图判断下列命题的真假若，则若，则仅当，时为纯虚数若，则是纯虚数解析中，当，时，成立，是假命题中，当，时才成立，是假命题中，当时，不满足纯虚数的条件，是假命题三复数的相等如果两个复数，与，的实部与虚部对应相等，我们就说这两个复数相等，记作，即⇔且有意义的问题求解第小题时，既要考虑实部为，同时需虚部不为，两者缺不可实数分别取什么值时，复数是实数虚数纯虚数解析当满足，，即时，是实数当满足，，即且时，是虚数当满足，，即或时，是纯虚数复数的相等已知，求实数的值分析当时，条件式左右均为复数的代数形式，故可根据复数相等的定义将其转化为实系数方程组去求解解析，由复数相等的条件，得，解得或，方法总结只有当时，由才可推出，若且，则等于答案解析，，已知关于的元二次方程，当方程有实根时，求点，的轨迹方程求方程的实根的取值范围分析复系数方程有实根，可根据方程根的意义，以及复数相等的充要条件，将复数问题转化为实数问题解析设方程的实根为，则有，即，即，也就是点，的轨迹方程为，其轨迹是以，为圆心，为半径的圆直线与圆有公共点，，即，即方程的实数根的取值范围是,方法总结本题由复数的相等得到个关系的参数方程，消去后便得到个关于，的关系式，即为所求动点，的轨迹方程已知关于的方程有实根，求这个实根以及实数的值解析设是方程的实根，代入方程并整理得由复数相等的条件得解得，或，方程的实根为或，相应的值为或已知方程有实根，求实数错解由于方程有实根，故即时方程有实数根辨析实系数方程中的些结论及实数运算中的些法则与性质，在复数运算时不能完全照搬过来本题乱用判别式，正确的解法应根据复数相等的条件得到两个由实数等式组成的方程组，从而确定两个参数正解设方程的实数根为，则，，方程可变形为由复数相等的条件得⇒，故时方程有实数根方法总结此类问题的实质是在实数集中解方程，通常可将复数设为的形式，代入等式，借助复数相等的充要条件，将其转化为实数集上的方程组，进而求得原方程的解实数系复数的概念数系的扩充过程了解实数系虚数单位复数及其相关概念理解复数相等的充要条件理解实系数元二次方程解法了解成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修数系的扩充与复数的引入第三章年，意大利数学家物理学家卡丹在其所著重要的艺术书中列出将分成两部分，使其积为的问题，即求方程的根，他求出的根为和，积为但由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的因此复数在历史上长期不被接受“虚数”这名词就恰好反映了这点直到世纪，达朗贝尔欧拉和高斯等人逐步阐明了复数的几何意义及物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复数复变函数的理论基础是在世纪奠定的，主要是围绕柯西魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作进行的到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之，随着它的领域的不断扩大而发展成门庞大的学科，在自然科学的其他分支如空气动力学流体力学电学热学理论物理等及数学的其他分支如微分方程积分方程概率论数论等中，复变函数论都有着重要应用数系的扩充与复数的概念第课时数系的扩充与复数的概念第三章课堂典例探究课时作业课前自主预习课前自主预习年月，希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛天，张明与王华面对着广阔的大海，有番耐人寻味的对话张明海纳百川，心阔容海海心孰大王华夸张的手法，不可比较张明那么数，可否比较大小王华未必同学们，你能准确回答张明的问题吗实数的分类有哪些实数的运算律有哪些答案实数有理数正有理数零负有理数循环小数整数有限小数无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数小数加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律乘法分配律数系的扩充实数系实数就是小数，它包括有理数有限小数和无限循环小数和无理数无限不循环小数实数系扩充的脉络自然数系有理数系实数系，即⊆⊆实数的性质实数对四则运算是封闭的，即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数与的性质为加法和乘法都适合交换律结合律，乘法对加法满足分配律实数系和数轴上的点可以建立对应关系虚数的引入及其性质数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，像这个方程在实数范围内就无解，为了解决这类问题，需要把数的范围作进步的扩充为此，人们引入个新数，叫虚数单位，且规定可与实数进行四则运算，且原有的加乘运算律仍成立这样就产生了形如，的数叫复数，显然是的个平方根，即是方程的个解注意对虚数单位的性质的理解与实数之间可以运算，亦适合加减乘的运算律由于与实数集中矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立锦州期中计算答案解析二复数的有关概念与分类复数的有关概念设都是实数，形如的数叫做复数，复数通常用小写字母表示，即，其中叫做复数的实部叫做复数的虚部，称作虚数单位如和都是复数，它们的实部分别为和，它们的虚部分别为和另外，和也都是复数，它们的实部分别为和，它们的虚部分别为和特别地，也是复数，它的实部和虚部都是复数的分类复数，