长相等截面圆面积相等圆的周长球的表面积圆的面积球的体积由实数构成的集合满足条件若，，则，证明若，则集合必有另外两个元素，并求出这两个元素非空集合中至少有三个不同元素分析从集合中的元素满足的条件“若，则”出发当时，依次进行检验，即可得证证明，，则时，有由于，有由于，有如此循环可知集合中的另外两个元素为，集合非空，故存在，，有，且，即时，有，即如此循环出现三个数若，则，方程无实根若，则，方程无实根若，则，方程无实根互不相等，故集合中至少有三个不同元素方法总结本题考查了集合的定义性质二次方程的根等知识，培养学生的逻辑思维能力综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用，转换解题思路，增加解题途径综合法和分析法若，求证分析由三角函数的基本关系式，从出发，借助于立方和公式将待证式的次数降低后再进行证明证明，要证，只需证由两边平方得，方法总结本题证明过程的前半部分用的是综合法，后半部分是分析法，本题把二者很好地结合起来反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若，则”的否定是“若，则”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若，则”为假，从而可以导出“若，则”为真，从而达到证明的目的反证法反映了“正难则反”的解题思想若均为实数，且，时，证明对所有的，有分析欲求的通项公式，从特殊归纳出般性结论利用数学归纳法证明解析解由，得由，得由，得由此猜想的个通项公式为证明当时，不等式成立假设当时不等式成立，即那么当时，也就是说，当时根据和，对于所有，有方法总结本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想归纳推理以及分析问题和解决问题的能力随堂练习选择题下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成个数列的前项，则这个数列的个通项公式为答案解析由题意知故猜想故选已知„，则共有项，当时，共有项，当时，共有项，当时，共有项，当时，答案解析从到共有个自然数，即共有项故选分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明设，且，求证答案解析因，且，所以只需证，只需证只需证，即证，这显然成立故选二填空题平面上，周长定的所有矩形中，正方形的面积最大周长定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是答案表面积定的空间体中，球的体积最大解析平面中的“周长”类比成空间中的“面积”“平面图形”类比成“空间体”“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”根据下面组等式，„可得„答案解析根据所给等式组，不难看出由此可得„三解答题已知数列满足猜想数列的单调性，并证明你的结论证明解析由及得由猜想，数列是递减数列下面用数学归纳法证明当时，已证命题成立假设当时命题成立，即易知，那么，即，也就是说，当时命题也成立结合和知，命题成立当时结论成立当时，易知„成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修推理与证明第二章章末归纳总结第二章知识结构知识梳理随堂练习专题探究知识结构知识梳理推理与证明要解决的主要问题运用合情推理的思维方式探索发现些数学结论，可运用演绎推理来加以证明学会了综合法分析法及反证法，能够运用数学归纳法证明与正整数相关的命题解决上述问题的关键是要掌握合情推理与演绎推理的思维模式，熟悉分析法综合法反证法数学归纳法的思维过程及特点，以及用各种方法证题的基本模式二是养成“观察归纳猜想证明”这重要思维方式，强化转化思想分类讨论思想正难则反的思想，培养科学的探究能力创新能力本章注意的问题归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到般，由部分到整体的推理后者是由特殊到特殊的推理二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论都有待于去证明它的正确性演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性数学证明的两类基本方法是直接证明和间接证明直接证明的两个基本方法综合法与分析法间接证明的基本方法反证法数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题在证明中，它的两个步骤缺不可，且第二步的推导必须用上假设专题探究运用合情推理时，要认识到观察归纳类比猜想证明是相互联系的，在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思想，然后用归纳类比的方法进行探索，提出猜想，最后用演绎推理方法进行验证合情推理与演绎推理找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质圆心与弦非直径中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等圆的周长为直径圆的面积解析圆与球具有下列相似性质圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是空间中到定点的距离等于定长的所有点构成的集合圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形与圆的有关性质相比较，可以推测球的有关性质圆球圆心与弦非直径球心与截面圆非轴截面中点的连线垂直于弦圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的与球心距离相等的两个两条弦长相等截面圆面积相等圆的周长球的表面积圆的面积球的体积由实数构成的集合满足条件若，，则，证明若，则集合必有另外两个元素，并求出这两个元素非空集合中至少有三个不同元素分析从集合中的元素满足的条件“若，则”出发当时，依次进行检验，即可得证证明，，则时，有由于，有由于，有如此循环可知集合中的另外两个元素为，集合非空，故存在，，有，且，即时，有，即如此循环出现三个数若，则，方程无实根若，则，方程无实根若，则，方程无实根互不相等，故集合中至少有三个不同元素方法总结本题考查了集合的定义性质二次方程的根等知识，培养学生的逻辑思维能力综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克