，„，求和整个区间，上变力所做的功就近似地表示为ξ取极限ξ即求变力做功也分四步分割近似代替求和取极限，即这里取ξ且把区间，等分如图，将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置处，求克服弹力所做的功解析在弹性限度内，拉伸压缩弹簧所需的力与弹簧拉伸压缩的长度成正比，即，其中为比例系数将，等分，记，分点依次为，„，，当很大时，在分段，所用的力约为是，所做的功则从到所做的总功近似地等于„弹簧从平衡位置拉长到处所做的功为答克服弹力所做的功为二定积分的概念定积分的概念设函数定义在区间，上如图，用分点„把区间，分为个小区间，其长度依次为„，记为这些小区间长度的最大者，当趋近于时，所有的小区间长度都趋近于在每个小区间内任取点ξ，作和式ξ当时，如果和式的极限存在，我们把和式的极限叫做函数在区间，上的定积分，记作，即ξ其中叫做被积函数，叫积分下限，叫积分上限，叫被积式，此时称函数在区间，上可积注意定积分是种“和”的极限，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即„称为积分形式的不变性用定义求定积分的常用般步骤是分割等分区间近似代替取点ξ求和ξ取极限ξ说明等分区间则当趋于时，即趋于无穷大，并注意当ξ，时，的取值是从到，而非定义中的从到，但与定义中实质相同，定义中ξ，在定积分的概念中，般假设的情况特作如下的规定当时，当时，当定积分的上下限相同时，定积分的值为当交换定积分的上下限时，定积分的绝对值不变，但相差个负号定积分就是积分和式的极限ξ，而只是这种极限的种符号，读作“从到函数的定积分”关于定积分的几何意义定积分表示面积从几何上看，如果在空间，上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线，，和曲线所围成的曲边梯形面积，这就是定积分的几何意义定积分表示面积的，„，„，每个小区间的长度为，过各分点作轴的垂线，把曲边梯形分割成个小曲边梯形，再分别用小区间的左端点的纵坐标为高，为底作小矩形，于是图中曲线之下小矩形面积依次为，，，„，所有这些小矩形的面积和图中阴影部分面积，方法总结曲边梯形不是我们常见的规则四边形，所以不能直接用已有的公式求其面积，可以将它分割成许多小的曲边梯形，每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，对这些面积近似求和，就得到了梯形面积的近似值，当分割无限变细时，这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积在求和时，可先提取，再将和式进行化简处理，求得的值将本例改为“求由及围成的曲边梯形的面积”解析将,平均分成等份，每份，第个小曲边梯形的面积，„„求变力所做的功物体在力的作用下从静止开始运动，力的大小与位移的关系是，求物体运动的过程中力所做的功解析分割将区间,等分，得，近似代替，在，的位移内，力所做的功求和物体运动过程中力做的功近似地等于取极限当趋于时，无限趋近于，于是物体运动的过程中力所做的功为方法总结本题为变力做功问题，与解决曲边梯形面积方式是样的，都要对函数实行相同结构的数学运算物体做变速直线运动，设该物体在时间的速度为，求物体在到这段时间内运动的路程解析点评由于作积分和时可取区间内的任点，故为便于求和取来近似代替作和利用积分的几何意义求定积分利用定积分的几何意义，求分析利用几何意义求定积分关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间，正确的利用相关的几何知识求面积不规则的图形常利用分割法求面积注意分割点的准确确定解析在平面上表示的几何图形为以原点为圆心以为半径的上半圆如图所示，其面积为由定积分的几何意义知在平面上，为条直线表示直线围成的直角梯形的面积，如图其面积为根据定积分的几何意义知方法总结利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性对称性来解决问题，另外，结合图形更直观形象的辅助作题利用定积分的性质和几何意义表示下列曲线围成的平面区域的面积，解析曲线所围成的区域如图所示，设此面积为，则曲线所围成的平面区域如图所示，是由围成的图形的面积是由，和围成的图形的面积，用定积分的几何意义求错解由直线，所围成的图形，如图阴影部分所示，表示该图形的面积所以辨析要正确理解定积分的几何意义，当时，表示面积的相反数正解定积分定积分的实际背景了解曲边梯形的面积变力做功定积分的概念了解和式的极限定积分的几何意义成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修导数及其应用第章定积分与微积分基本定理第课时曲边梯形面积与定积分第章课堂典例探究课时作业课前自主预习课前自主预习大自然是懂数学的你看，在我们生活的大自然中，各种植物的叶子千差万别，但它们具有相同的特点叶子的边缘都是曲线形状，好似两条曲线相交而成同样，花卉的花瓣也是曲线形状的那么，怎样计算这种由曲线围成的图形的面积呢从到的自然数的平方和等于多少函数在处导数的定义是什么答案„定积分的实际背景曲边梯形的概念如图，阴影部分类似于个梯形，但有边是曲线的段我们把由直线，和曲线所围成的图形称为曲边梯形注意曲边梯形的面积并不是个孤立的概念，曲边梯形与“直边图形”有密切的联系，曲边梯形与“直边图形”的主要区别是前者至少有边为曲线段，后者所有边都是直线段可用“以直代曲”的思想求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积求曲线与，所围成的区域的面积具体的解题过程可以分为四步分割如图，将区间,等分为个小区间„，„，每个小区间的长度为近似代替过各分点作轴的垂线，把曲边梯形分成个小曲边梯形，再分别以小区间左端点的纵坐标为高，为底作小矩形，于是得到曲线下小矩形的面积依次为，„求和所有这些小矩形的面积和为„„取极限即求曲边梯形的面积分为四步分割近似代替求和取极限，即注意分割用“以直代曲”的方法求曲边梯形的面积时，在分割过程中，分割得越细，近似代替后所求面积的和就越接近曲边梯形的面积在“近似代替”中，教材在每个小区间，上取左端点，是为了计算方便，事实上，可以取右端点或区间上的任意点，没有统的要求为了运算方便，通常取些特殊点在求由，及围成的曲边梯形的面积时，在区间，上等间隔地插入个分点，分别过这些分点作轴的垂线，把曲边梯形分成个小曲边梯形，下列结论中正确的个数是个小曲边梯形的面积和等于个小曲边梯形的面积和小于个小曲边梯形的面积和大于个小曲边梯形的面积和与之间的大小关系不确定答案解析只有正确故选求变力做功如果物体在常力作用下沿直线运动，且力与位移同向，则力对物体所做的功就是与位移的乘积但如果作用的力不是个常数，而是随着位移的不同而变化，即力是位移的函数，假定物体在变力的作用下沿轴由移动到，求这种变力所做的功是多少解将之间分割成个小区间设„„记第个区间的长度为，„，并在小区间，内任点取ξ近似代替如果区间很小，由在，内变化不大，可近似看做常力，把ξ记作这个常力，则物体从到所做的功ξ，„，求和整个区间，上变力所做的功就近似地表示为ξ取极限ξ即求变力做功也分四步分割近似代替求和取极限，即这里取ξ且把区间，等分如图，将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置处，求克服弹力所做的功解析在弹性限度内，拉伸压缩弹簧所需的力与弹簧拉伸压缩的长度成正比，即，其中为比例系数将，等分，记，分点依次为，„，，当很大时，在分段，所用的力约为是，所做的功则从到所做的总功近似地等于„弹簧从平衡位置拉长到处所做的功为答克服弹力所做的功为二定积分的概念定积分的概念设函数