种取法„奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即„„牛刀小试陕西宝鸡市金台区高二期末二项式的奇数项二项式系数和是，则等于答案解析二项式的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和故选新课标Ⅰ理，的展开式中，的系数为答案解析解法在的个因式中，个取因式中，剩余的个因式中个取，其余个因式取，故的系数为，故选解法的展开式中含的项为，而中含的项为的系数为秦安县西川中学高二期中已知的展开式中所有系数之和等于，那么这个展开式中项的系数是答案解析由条件知展开式的通项为，令得在的二项展开式中，若只有的系数最大，则等于答案解析由题意，展开式共有项贵州遵义航天中学高二期中的展开式中的常数项为答案解析展开式的通项为，令，则，，不合题意令得，其系数为典例探究学案二项式系数与二项展开式中项的系数的区别已知的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为求展开式中二项式系数最大的项求展开式中系数最大的项分析展开式中各项系数的和是当时的值，二项式系数的和为，由条件列方程可求的值，并据的奇偶性确定二项式系数最大的项而系数最大的项既与有关也与的系数有关，设第项系数最大，应有，解析令得，展开式中各项系数和为又展开式中二项式系数和为，展开式共项，二项式系数最大的项为第三四两项设展开式中第项的系数最大，则由，得即展开式中系数最大的项为方法规律总结求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，为奇数时中间两项的二项式系数最大，为偶数时，中间项的二项式系数最大注意展开式中项，项的二项式系数，项的系数三者的区别若展开式中前三项系数成等差数列则展开式中系数最大的项为在的展开式中，末三项的二项式系数和为，则展开式中系数最大的项为答案和解析通项为由已知条件知，解得记第项的系数为，设第项系数最大，则有且又，于是有即！！！！！！，！！！！！！，则，„由，得由，得方法的展开式中大于零，而，不于零，„方法二„是展开式中各项的系数和„方法规律总结赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项，般地，对于多项式„，各项系数和为，奇次项系数和为，偶次项系数和为的展开式中各项系数的和为，则该展开式中常数项为泉州市南安中高二期中若，则的值为答案解析令得展开式的通项令得，令得，展开式的常数项为对于，令得，令得，两式相乘得，故答案为如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成个锯齿形的数列，„，记这个数列的前项和为，则等于答案与杨辉三角有关的问题分析由题目可获取以下主要信息该数列从第项开始每隔项等于前两项的和，解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和解析由图知，数列中的首项是，第项是，第项是，第项是，„，第项是，第项是，„„„„„方法规律总结解决与杨辉三角有关或类似问题的般思路是通过观察找出每行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系然后将数据间的这种联系与组合数的性质结合用数学式子将它表达出来，使问题得解，注意观察方法横看竖看斜看连续看隔行看从多角度观察„如图所示，满足第行首尾两数均为表中的递推关系类似杨辉三角，将第行的第个数记作则,答案解析由，的定义知表示表中第行第个数，注意观察可以发现，从第三行开始，每行的第二个数都等于它的上行肩上两个数字的和，故„„,„„求系数最大的项已知的展开式的二项式系数的和比的展开式的二项式系数的和大求的展开式中，二项式系数最大的项系数的绝对值最大的项分析前个二项式系数的和比后个二项式系数的和大，可得到关于的方程，解方程可求出展开式中系数最大的项，应在正项中，可列不等式求解系数的绝对值最大的项，实质是展开式中系数最大的项对应的项，故找符合题意的项时，可先不考虑符号，找到该项后再按通项公式写出解析由题意，解得的展开式中第项的二项式系数最大，即设第项的系数的绝对值最大，则，，，即，解得，且，故系数的绝对值最大的项是第项，即方法规律总结注意“展开式系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”的区别展开式系数是离散型变量，求它们的最大值，在系数均为正的前提下，只需比较相邻两个的大小，根据通项公式正确地列出不等式组即可设第项的系数最大，则的系数的系数，的系数的系数的展开式中，系数最大的项是第项第项第项第项与第项答案解析展开式中共有项，中间项为第项，故选成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修计数原理第章二项式定理第章“杨辉三角”与二项式系数的性质典例探究学案课时作业自主预习学案自主预习学案能用不完全归纳法写出杨辉三角形，并依据杨辉三角形验证组合数的性质，会推证并掌握二项式系数的性质，通过“杨辉三角”进行爱国主义教育重点二项式系数的性质难点二项式系数性质的应用思维导航的展开式的二项式系数，当取正整数时可以表示成如下形式杨辉三角形与二项式系数的性质表观察上表思考指数的取值与展开式中的项数有何关系从第行起，每行除两端数字外，每个数字与其上行肩上的两个数字有什么关系按照这个规律，你能写出时，两行的系数吗写出后自己用多项式乘法的法则或计算器验证每行数从左右两端向中间看，你发现了什么规律由此猜想与展开式中系数的最大值各是多少计算每行各数之和后排在这行的右侧，观察的变化与和的变化，你发现了什么规律据此猜想展开式中各项系数的和是多少并自己选择方法加以检验新知导学表称作从表可以看出二项展开式中第项的系数恰为组合数在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数，即，„，事实上，这性质可直接由公式得到杨辉三角形相等如果二项式的幂指数是偶数，的二项式系数最大如果二项式的幂指数是奇数，的二项式系数相等并且最大这是由于„„中间项中间两项所以相对于的增减情况由决定，故当，即时，二项式系数而当即时，的值转化为又因为与首末两端“等距离”的两项的二项式系数，所以二项式系数增大到项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在增大递减相等中间当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间项，即第项的二项式系数最大，最大为当为奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项，即第项和第项，这两项的二项式系数相等并且最大，最大为表中数字以外的每个数字都等于上行它肩上两个数字的，这又验证了组合数的性质„由„令得出此证法所用赋值法在解决有关组合数性质，二项式展开式中系数问题中很有用，应重点体会掌握和展开式的组合数解释为展开式左边是个的乘积，按照取的个数可以将乘积中的项按的取法分为类第类取个,个，共种取法第类取个,个，共种取法第类取个,个，共种取法„„第类取个，个，共种取法„„第类取个，个，共种取法„奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即„„牛刀小试陕西宝鸡市金台区高二期末二项式的奇数项二项式系数和是，则等于答案解析二项式的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和故选新课标Ⅰ理，的展开式中，的系数为答案解析解法在的个因式中，个取因式中，剩余的个因式中个取，其余个因式取，故的系数为，故选解法的展开式中含的项为，而中含的项为的系数为秦安县西川中学高二期中已知的展开式中所有系数之和等于，那么这个展开式中项的系数是答案解析由条件知展开式的通项为