得最小值例湖南卷若实数，满足，则的最小值为解析由，知由于，当且仅当时取等号，故选热点利用基本不等式求最值微题型基本不等式的简单应用例天津卷已知，则当的值为时取得最大值微题型带有约束条件的基本不等式问题青岛模当且时，函数的图象恒过点，若点在直线上，则的最小值为解析，当且仅当，即时，等号成立，此时，函数的图象恒过点，即，当且仅当时等号成立答案探究提高在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆拼凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”即条件要求中字母为正数“定”不等式的另边必须为定值“等”等号取得的条件的条件才能应用，否则会出现错误训练广州模拟若正实数，满足，则的最小值是山东卷定义运算“⊗”⊗，，，当，时，⊗⊗的最小值为解析由，得，又，当且仅当时取由题意，得⊗⊗，当且仅当时取等号答案热点二含参不等式恒成立问题微题型运用分离变量解决恒成立问题例关于的不等式对，恒成立，则实数的取值范围为解析设，因为，所以又关于的不等式对，恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围为，答案，探究提高是转化关，即通过分离参数法，先转化为或对∀恒成立，再转化为或二是求最值关，即求函数在区间上的最大值或最小值问题微题型构造函数主辅元转换解决恒成立问题例已知，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求的取值范围解易知由题意，令对∀，恒成立所以只需，即可，即，⇒或故的取值范围是，，探究提高主辅元互换可以实现对问题的有效转化，由繁到简，应用这种方法的过程中关键还是把握恒成立的本质，巧用转化思想，灵活处理，从而顺利解决问题训练潍坊模拟已知若不等式恒成立，则的最大值为若不等式对于切，恒成立，则的取值范围是解析因为所，解之得答案热点三简单的线性规划问题微题型已知约束条件，求目标函数最值例全国Ⅱ卷若，满足约束条件，则的最大值为解析画出约束条件表示的可行域为如图所示的阴影三角形作直线，平移到过点的直线时，可使直线在轴上的截距最大，即最大，解，得，即故最大答案探究提高线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想需要注意的是，准确无误地作出可行域二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错三，般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得微题型求参数问题例福建卷变量，满足约束条件若的最大值为，则实数等于解析由图形知，只有在点处取最大值，探究提高对于线性规划中的参数问题，需注意当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这特征加以转化当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可例已知动点，在过点，且与圆相切的两条直线和所围成的区域内，则的最小值为微题型非线性规划问题解析由题意知，圆的圆心坐标为，过点，的直线方程可设为，即因为直线和圆相切，所以，解得，所以两条切线方程分别为，由直线，和所围成的区域如图所示的几何意义为可行域内的点到直线的距离的倍由图知，可行域内的点到直线的距离最小，则，故选答案探究提高线性规划求最值问题要明确目标函数的几何意义目标函数为次函数，几何意义可等价为横纵截距，平移直线即可求出最值目标函数为二次函数，可等价距离的平方，但要注意求距离最值时，若利用垂线段，需考虑垂足是否在可行域内，所以此时更要注意数形结合的重要性目标函数为次函数绝对值，可构造点到直线的距离，但莫忘等价变形即莫忘除以系数目标函数为次分式，可等价直线的斜率训练，满足约束条件若取得最大值的最优解不唯，则实数的值为或或或或重庆卷若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则的值为解析如图，由知的几何意义是直线在轴上的截距，故当时，要使取得最大值的最优解不唯，则当时，要使取得最大值的最优解不唯，则图图不等式组表示的区域如图，则图中点纵坐标，点纵坐标，点横坐标或舍，答案应用不等式的性质时应注意的两点两个不等式相加的前提是两个不等式同向两个不等式相乘的前提是两个不等式同向，且不等式两边均大于不等式原则上不能相减或相除在应用传递性时，要正确处理带等号的情况，如由，或，均可得出，即等号是传递不过去的多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的种方法不等式实际应用问题中的易错点忽视变量的取值要求，生搬硬套基本不等式，特别是变量取值为正整数如人数楼层数作为变量时，不检验等号成立的条件忽视变量的单位换算导致代数式求解出错漏掉实际问题中的些定量导致最值求错解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点或边界上的点，但要注意作图定要准确，整点问题要验证解决第讲不等式及线性规划高考定位不等式的性质求解及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查般以选择题填空题为主主要考查不等式的求解利用基本不等式求最值及线性规划求最值不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列函数向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档在解答题中，特别是在解析几何中求最值范围或在解决实际问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高真题感悟福建卷若直线，过点则的最小值等于解析由题意，，当且仅当时，取等号故选陕西卷设若，则下列关系式中正确的是解析又在，上为增函数，故，即又故选全国Ⅰ卷若，满足约束条件，则的最大值为解析作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线，平移直线，当直线过点，时，答案浙江卷已知函数则，的最小值是解析因为，当时，当时当且仅当时成立，的最小值为答案考点整合解元二次不等式需熟悉元二次方程二次函数和元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽若给出了元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和方程的两个根，再由根与系数的关系就可知之间的关系解含有参数的元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论对二次项系数与的大小进行讨论在转化为标准形式的元二次不等式后，对判别式与的大小进行讨论当判别式大于，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论基本不等式的常用变形当且仅当时，等号成立，，，当且仅当时，等号成立，同号且均不为零，当且仅当时，等号成立，当且仅当时，等号成立，当且仅当时，等号成立利用基本不等式求最值已知，，，则若和为定值，则当时，积取得最大值若积为定值，则当时，和取得最小值平面区域的确定方法是“直线定界特殊点定域”，二元次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集线性目标函数中的不是直线在轴上的截距，把目标函数化为，可知是直线在轴上的截距，要根据的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值什么情况下取得最小值例湖南卷若实数，满足，则的最小值为解析由，知由于，当且仅当时取等号，故选热点利用基本不等式求最值微题型基本不等式的简单应用例天津卷已知，则当的值为时取得最大值微题型带有约束条件的基本不等式问题青岛模当且时，函数的图象恒过点，若点在直线上，则的最小值为解析，当且仅当，即时，等号成立，此时，函数的图象恒过点，即，当且仅当时等号成立答案探究提高在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆拼凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”即条件要求中字母