1、“.....他们仅仅依靠物理模型几何直观以及较简单的代数函数，对各种函数进行运算，这是不够严谨的。到了世纪大批优秀的数学家对其进行了认真严密的探索和研究，首次进行无穷级数重要和严格化研究的是德国数学家高斯他对于些特殊的函数项级数进行了收敛和发散的证明函数项级数致收敛性的发展在高斯等人对无穷级数研究的基础之上，柯西,第个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础，并建立了严格完整的级数理论。阿贝尔,对柯西的级数理论非常感兴趣，并对理论进行了深刻的研究，对其进行了完善，后来由魏尔斯特拉斯，和狄利克雷，提出的致收敛判别法完成了整个级数理论的构建，并分别找到了函数项级数致收敛性的判别方法......”。

2、“.....找到了其它判断函数项级数致收敛的更多方法，比如比式判别法，根式判别法及其推论，而对于函数项级数致收敛性的判别方法研究将不会停止判别函数项级数致收敛的意义从教材中了解到级数内容主要分为两大块，即数项级数与函数项级数。数项级数通常被认为是函数项级数的个典型例子，而函数项级数，种意义上，是对数项级数的延伸所以它们在致收敛的判别方法上，具有相同或相似之处，弄清楚函数项级数致收敛的判别方法，也可以推广到级数收敛的判别方法判别函数项级数致收敛性的理论意义致收敛性是函数项,上是单调递减的,由定理知,函数级数在区间......”。

3、“.....若对于,......”。

4、“.....对函数项级数致收敛性的发展进行了简单的说明，并回答了为什么要找出函数项级数致收敛性判别法的原因，经过定义函数项级数致收敛性及相关辅助性概念，找到了判别函数项级数致收敛性的判别方法主要有定义判别法柯西判别法判别法阿贝尔判别法狄利克雷判别法狄尼判别法莱布尼茨判别法将其推广后得到了其它些判别法，比如余项判别法积分判别法比式判别法根式判别法对数判别法导数判别法逼近判别法及些推论，旨在完善这方面的理论知识，并帮助学习者更好地理解和学习这方面的知识关键词函数项级数致收敛性判别法发展演化......”。

5、“.....有限个连续函数的和仍是连续函数，有限个可导与可积函数的和的导数与积分，分别等于它们的导数与积分的和然而现在研究函数项级数，遇到的是无穷多个函数相加的情形，我们自然要问当级数在上收敛于和函数时，即，或其中时，如果,连续，是否也连续，如果,在的个区间,可积，是否也在,可积，且等式，即是否成立如果,可导，是否也可导又等式即是否成立答案是都不定请看下面的例子例定义在区间,上的级数,它的每项在,上都连续，其部分和，因此和函数为,显然，和函数在不连续这个例子告诉我们......”。

6、“.....但和函数不定连续虽然级数的每项都可导，但和函数不定可导例考察函数序列，其中对任何,有，故但是，这表明上述函数序列虽然有，可是为了解决这类积分或求导运算与无限求和运算交换次序的问题，需要引进个概念致收敛而个函数项级数是否致收敛，该如何去判别这个问题正是这篇文章的出发点和落脚点，下面从函数项级数的发展说起函数项级数的致收敛性主要是由无穷级数发展而来下面简单介,在,上致收敛定理狄尼判别法设连续函数序列在有限个区间,上逐点收敛于连续函数，且对任何,，数列都是单调数列，则在,上致收敛于证明用反证法若假，则于,上非致收敛，于是存在，自然数列的子列和,上的点列......”。

7、“.....故不妨设本身收敛于,由于收敛于，故对,存在，使得，由因为函数在点连续，而收敛于点，故有从而存在自然数，使得当时，就有因为对每个,，数列单调，故当，由得到这与矛盾此定理也可以改写成级数的形式推论狄尼判别法的级数形式设函数项级数在有限区间,上逐点收敛于和函数，级数的所有项及和函数都在,上连续，且对每个,，数列的所有项同号，则函数级数在,上致收敛于例判定函数级数在区间,和,上是否致收敛解对任何，都有当时，由上式即得，由此可知，级数在,上时非致收敛当,时有，因为......”。

8、“.....从而由判别法知级数在,上致收敛对于数项级数中的交错级数的收敛性有莱布尼茨判别法,考虑到数项级数实际上是函数项级数的种特殊情况,对此我们有类似的判别方法,即莱布尼茨判别法,即,充分性已知,即,有,所以有即级数在区间上致收敛于例判断它的收敛性解,因为,故,所以函数级数在区间,致收敛定理积分判别法设,为区域上的非负函数,是定义在数集上的正项函数级,,如果,在,上关于为单调减函数......”。

9、“.....在数集上致收敛,则在数集上致收敛证明由,在数集上致收敛,对,个,当时,对切自然数和切,有,由所以在数集上致收敛例设,证明在区间,连续证明首先对任意取定点都存在,使得,,我们只要证明在即可令,,由,,并且无穷级数收敛,所以含参积分在,上致收敛又因为,即对任意固定,,,关于在区间定理莱布尼茨判别法若，......”。