1、“.....„„„„„„„„„„第二积分中值定理中值点的渐进性„„„„„„„„„„„„„„„„„积分中值定理的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„估计积分值„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„求含定积分的极限„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„确定积分号„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„比较积分大小„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„证明函数的单调性„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„证明定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„结论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„......”。

2、“.....数学也跟着时代步伐大迈步前进。 其中，微积分的创立，也极大地推动了数学的发展。 积分中值定理是作为微积分中的个重要性质出现在数学分析课程中的，它在数学分析的学习过程占有很重要的地位，并且对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我们就把积分中值定理及其应用清晰论述下。 通常情况下，积分中值定理包含第积分中值定理第二积分中值定理。 而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在个区间上的情形......”。

3、“..... 并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学。 我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式数学中些定理的证明，数学定理命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值。 虽然有时第积分中值定理在处理些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作个基础定理，解决些现实问题。 此外，在世纪，国内外定在有关积分中值,比较式我们可以得到......”。

4、“.....我们将它主要分为以下几个方面积分中值定理积分中值定理的推广积分中值定理中值点的渐进性，积分中值定理的应用。 我们讨论了定积分中值定理第积分中值定理第二积分中值定理，而且还给出了这些定理的详细证明过程。 在此基础上，我们还讨论了在几何形体上的黎曼积分第中值定理，它使得积分中值定理更加般化，此情形对于讨论般实际问题有很显著作用。 在积分中值定理的推广方面，我们由最初的在闭区间......”。

5、“.....上讨论函数上的积分中值定理，这个变化对于解决些实际的数学问题更为方便。 不仅如此，我们还将几何形体上的黎曼积分第中值定理推广到第第二曲线型积分中定理和第第二曲面型积分中值定理情形。 有关点的渐进性，我们对第积分中值定理的点的做了详细的讨论，给出详细清楚的证明过程。 而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的种情形，其它证明过程只做简要说明。 对于应用，我们给出了些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。 关键词积分中值定理推广应用渐进性......”。

6、“.....言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„积分中值定理的证明„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„定积分中值定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„积分第中值定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„积分第二中值定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„几何形体上黎曼积分第中值定理„„„„„„„„„„„„„„„„积分中值定理的推广„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„定积分中值定理的推广„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„定积分第中值定理的推广„„„„„„„„„„„„„„„„„„„定积分第二......”。

7、“.....由于在曲面上连续，故由介值定理，在曲面上至少存在点，使，两边同时乘以有，同理，若，则上式除以有，由于在曲面上连续，故由介值定理，在曲面上至少存在点，使，两边同时乘以有。 由以上证明过程可得，从而结论成立。 第积分中值定理中值点的渐进性定理假设函数在,上阶可导，其中在点的直到阶右导数为，而不为......”。

8、“.....，并且有在点连续函数在,可积且不变号，并且对于充分小的，在,上连续，且，则第积分中值定理中的中值点满足。 证明对任意,，我们做个辅助函数如下方面，当时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则由积分中值定理和洛比达法则可以得到,，从而,。 且有成立。 另方面，由积分中值定理和洛比达法则可得对使用洛比达法则可得,比较......”。

9、“..... 定理设函数在,上阶可导，，，在点连续函数,在上有阶导数，且，，并且在点连续，不变号，则第积分中值定理中的满足。 证明对任意的,，我们构造辅助函数如下方面，由于时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有由于函数在,上阶可导，且函数在,上阶可导，则上式等于另方面，由积分中值定理......”。