1、“.....的行张成了的零空间现在考虑限制变量的空间∈∈∈∈由定义定理∈证明证明被省略，因为它和的证明几乎相同。 定理的证明包括了特殊情况值得提的个重点是，构建的个可行的弧需要对ε的情况在弧参数中进行扩增在我们的情况下，的情况可以完全被的情况所包含。 我们现在可以列出用于解决的关于的优化条件。 定理用来解决的关于的充要条件是存在的矩阵和的矩阵，分别满足这样,,这里,是在从开始的文中已经定义的......”。

2、“.....这个优化的充要条件是┇这里∈，∈,第章。 由定理我们因此需要这里∈,∈。 由我们有本科生毕业论文设计外文翻译姓名与学号张寒煜指导教师程晓良年级与专业信息与计算科学所在学院数学系最小化对称矩阵的最大特征值摘要个重要的优化问题是使个函数最小化，其中是个关于的对称矩阵的最大特征值取绝对值。 如果这个矩阵函数是仿射的，那么就是凸的。 然而，是不可微的......”。

3、“..... 本文提出的个算法用来取得最小化的是具有二次速率的。 二阶导数都无须取得二次收敛的情况下，这个解是唯的。 该算法的个重要特征是能够分割的多个特征值，如果必要的话，以取得下降方向。 在这些方面，该算法对第类方法显示出显著改进。 这种新方法与对半定约束和，和逆特征值问题的近期工作有很多共同之处。 并会给出些数值例子。 关键字非光滑的优化，不可微的优化，凸规划，半定约束，最大奇异值的最小化简介......”。

4、“..... 举个例子，结构工程，我们不妨以尽量减少些结构受限于它的固有频率约束的成本。 个相当常见的产生于控制工程的问题是条件是,是个关于的仿射函数的实对称矩阵，且,是的特征值。 既然是个仿射函数，那么它可以写作函数是凸的，因为个矩阵的最大特征值关于矩阵的元素是个凸函数。 个重要的特殊例子是这里是单位矩阵的第行，所以需要注意的是，非对称矩阵的最大奇异值的最小化问题的可以写作的形式......”。

5、“..... 其中个原因是的方法可以用来解决系列的子问题，每个通过定义些无效的关于的猜想，直到正确的被标示出来。 这样的策略不能很容易地扩展到两个或更多的半定约束的情况。 我们的算法中的个目标是能够调整多重估计并总是在每次迭代中获得递减的。 我们在每次迭代中通过计算的特征值特征向量的分解来得到。 相比之下，的方法用到了对做分解，连同个精确的罚函数来加强。 此外，因为,的特殊形式......”。

6、“..... 换句话说，给出个矩阵来满足，通过个无关的值，对于的增长来说它不会是有利的，以减少多重的。 在另方面，在我们的情况下它可能有必要分割多个特征值，认识到这种情况，并获得恰当的下降方向的能力，是我们的算法的个重要部分。 因为我们在每个迭代的上对矩阵使用特征值分解，我们的方法和,和提出的方法在很多地方会有相同之处。 在之后的文章中，些二次收敛的方法会给出并用来解决这里，是给出的不相同的值......”。

7、“.....和，表示变量的个数是通过适当的方式选取的。 这篇文章的贡献是用来解释条件，即使只有个条件，在参数空间中会产生个线性无关约束，那么有效的数值方法必须基于这样的考虑。 本文件可以被视为,和的般化的方法用来解决这里，作为最小化过程的乘积，我们认为,满足我们令和分别是的特征值中最大和最小特征值的重数。 我们可以确定的是和定都不为。 接下来的符号会非常有意义令,特征值或加或减形成的奇异值。 毫无疑问的......”。

8、“..... 最小化的困难在于，这个方程是不可微的，因为特征值是不可微在它们聚结点。 此外，我们通常可以想到的解决方案是在个不可微点，由于的最小化般驱动多个特征值，以得到相同的最小值。 在这篇文章中，我们提出个算法来解决具有二次渐近收敛。 此外，二阶导数并不总是需要获得二次收敛。 为了让这篇文章显得短小精悍，我们不会给出收敛的证明以及，我们会忽略些算法的细节，但是主旨为非常的清晰......”。

9、“.....或任何实用的高精度算法，用来描述最小化问题。 该算法的个重要特征是，从任何点不是最优得到下降方向的能力，即使这要求分裂的特征值开始是相等的。 退化情况的例外。 这显然是个崭新的算法。 在这些方面，这里给出的算法表示的阶方法通过和和中描述的相同的问题有显著改善。 本文受到两个工作和，和的严重影响，给予充分肯定。 与个人通信也非常有帮助。 另外个重要的早期参考，和......”。