1、以下这些语句存在若干问题，包括语法错误、标点使用不当、语句不通畅及信息不完整——“.....因此⊥因为⊥平面，⊂平面，所以⊥而⊂平面，⊂平面且∩，所以⊥平面，又⊂平面所以⊥解析如下图，设，为上任意点，连接由知⊥平面，则为与平面所成的角在中所以当最短时，最大，即当⊥时，最大，此时，因此，又，所以，所以因为两两垂直，以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以所以，设平面的法向量为，则，因此，取，则，因为⊥，⊥，∩，所以⊥平面，故为平面的法向量又，所以，因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为如图，已知在直三棱柱中，⊥，为的中点，求证⊥平面证明如图，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系设，则由于因此，因此⊥，故⊥取的中点，连接，由于，所以，又，所以，又和不共线，所以，又⊂平面，⊄平面，故平面如下图，在棱长为的正方体中，是侧棱上的点，试确定......”。

2、以下这些语句存在多处问题，具体涉及到语法误用、标点符号运用不当、句子表达不流畅以及信息表述不全面——“.....使得对任意的，在平面上的射影垂直于并证明你的结论解析方法连接，设交于，与平面交于点，连接因为平面，平面∩平面，故所以又⊥，⊥，所以⊥平面故为与平面所成的角在中即故当时，直线与平面所成的角的正切值为依题意，要在上找点，使得⊥可推测的中点即为所求的点因为⊥，⊥，∩，所以⊥面又⊂平面，故⊥从而在平面上的射影与垂直方法二建立如下图所示的空间直角坐标系，则所以，又由知为平面的个法向量设与平面所成的角为，则依题意有，解得故当时，直线与平面所成的角的正切值为若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则，依题意，对任意的要使在平面上的射影垂直于，等价于⊥⇔⇔⇔所以即为的中点时，满足题设的要求金版学案学年高中数学第三章空间向量与立体几何本章小节新人教版选修知识点空间向量的线性运算选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量......”。

3、以下这些语句在语言表达上出现了多方面的问题，包括语法错误、标点符号使用不规范、句子结构不够流畅，以及内容阐述不够详尽和全面——“.....在四棱锥中，底面是边长为的正方形，到的距离都等于给出以下结论，其中正确结论的序号是解析容易推出，所以正确又因为底面是边长为的正方形所以，而，于是，因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是答案知识点二空间向量与空间位置关系利用空间向量主要研究空间中的平行或垂直问题证明线面平行问题可以有以下三种方法利用线线平行证明线面平行向量与两个不共线的向量，共面的充要条件是存在实数对使利用共面向量定理可以证明线面平行问题设为平面的法向量，为直线的方向向量，要证明，只需证明证明线面垂直的常用方法有设为直线的方向向量，为平面的法向量，则为非零实数⇔与共线⇔⊥是交线，所在平面外的直线不共线，分别为直线的方向向量，则有且⇔⊥且⊥⇔⊥例如图，在矩形中，分别为线段的中点......”。

4、以下这些语句该文档存在较明显的语言表达瑕疵，包括语法错误、标点符号使用不规范，句子结构不够顺畅，以及信息传达不充分，需要综合性的修订与完善——“.....且均为，的中点，⊥，故以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴建系如右图令则，⊄平面，⊂平面，平面⊥，⊥，即⊥，⊥，又∩，⊥平面，⊂平面，平面⊥平面例如图所示，矩形的边⊥平面现有数据若在边上存在点，使⊥，则可以取所给数据中的哪些值并说明理由分析建立空间直角坐标系，由⊥得，再将该等式表示为坐标形式，利用方程思想求解解析建立如图所示的空间直角坐标系，则设于是，由⊥得，即，此方程有解所以当时，方程的解为或，满足当时，方程的解为，满足因此满足条件的的取值为和知识点三空间向量与空间角求异面直线所成的角设两异面直线的方向向量分别为，那么这两条异面直线所成的角为，或，求二面角的大小如图，设平面的法向量分别为因为两平面的法向量所成的角或其补角就等于平面所成的锐二面角，所以，求斜线与平面所成的角如图，设平面的法向量为，斜线的方向向量为，斜线与平面所成的角为，则，四棱锥的底面是正方形......”。

5、以下这些语句存在多种问题，包括语法错误、不规范的标点符号使用、句子结构不够清晰流畅，以及信息传达不够完整详尽——“.....分别在棱，上，且⊥平面求与所成的角求二面角的余弦值求直线与平面所成角的余弦值分析建立空间直角坐标系，将所求角转化为空间向量所成的角解析建立如图所示的空间直角坐标系得所以，设，因为，所以，所以，所以因为⊥平面，所以⊥，所以，所以，得，所以，设，因为，所以，所以，所以因为⊥，所以，所以，所以，所以，所以因为，，所以与所成的角为因为⊥平面，⊥平面，所以，分别是平面，平面的法向量因为，所以，，所以二面角的余弦值为因为是平面的法向量，所以与平面所成的角即为与所成角的余角因为，所以，，所以直线与所成角的余弦值为，即直线与平面所成角的余弦值为知识点四空间向量与空间距离计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离几种常见的距离的求法求两点间的距离般用求点到平面的距离如图所示已知点，平面内点，平面的个法向量......”。

6、以下这些语句存在多方面的问题亟需改进，具体而言：标点符号运用不当，句子结构条理性不足导致流畅度欠佳，存在语法误用情况，且在内容表述上缺乏完整性。——“.....则，由数量积的定义知点到平面的距离求异面直线间的距离如图若是异面直线的公垂线，分别为上的任意两点，令向量⊥，⊥则则由得，两异面直线间的距离为求直线到平面的距离设直线平面，，，是平面的法向量，过作⊥，垂足为，则，直线到平面的距离为求两平行平面间的距离设是两平行平面的个法向量，分别是两平行平面上的任意两点，则两平行平面的距离如图，在四棱锥中，⊥平面，底面是菱形求证⊥平面若，求与所成角的余弦值当平面与平面垂直时，求的长证明因为四边形是菱形，所以⊥又因为⊥平面，所以⊥，又∩，所以⊥平面解析设∩，因为所以，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系则成角的余弦值为，即直线与平面所成角的余弦值为知识点四空间向量与空间距离计算两点之间的距离和因为是平面的法向量，所以与平面所成的角即为与所成角的余角因为，所以......”。

7、以下这些语句存在标点错误、句法不清、语法失误和内容缺失等问题，需改进——“.....平面内点，平面的个法向量，直线与平面所成的角为，则，由数量积的定义知点到平面的距离求异面直线间的距离如图若是异面直线的公垂线，分别为上的任意两点，令向量⊥，⊥则则由得，两异面直线间的距离为求直线到平面的距离设直线平面，，，是平面的法向量，过作⊥，垂足为，则，直线到平面的距离为求两平行平面间的距离设是两平行平面的个法向量，分别是两平行平面上的任意两点，则两平行平面的距离如图，在四棱锥中，⊥平面，底面是菱形求证⊥平面若，求与所成角的余弦值当平面与平面垂直时，求的长证明因为四边形是菱形，所以⊥又因为⊥平面，所以⊥，又∩，所以⊥平面解析设∩，因为所以，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系则，所以，设与所成角为，则解析由知设，则设平面的法向量，则所以......”。

8、以下文段存在较多缺陷，具体而言：语法误用情况较多，标点符号使用不规范，影响文本断句理解；句子结构与表达缺乏流畅性，阅读体验受影响——“.....则，所以同理，平面的法向量因为平面⊥平面，所以，即，解得，所以选择题以下四组向量中，互相平行的组数为，组组组组解析中，中，而中的向量不平行答案已知，则下列结论正确的是解析对于故错对于故错对于故正确答案已知向量是两两垂直的单位向量，且则等于解析答案已知是不共面的三个向量，则能构成个基底的组向量是解析不共面的三个向量才可以构成基底，中三个向量共面中三个向量共面中三个向量共面只有中的三个向量不共面答案如图⊂面，⊥面，⊥，与面成角，则间的距离为解析答案已知空间三点在直线上有点满足⊥，则点的坐标为解析由，且点在直线上，可设，则又⊥即即，解得，答案已知二面角的大小为为异面直线，且⊥，⊥，则，所成的角为解析二面角的大小为为异面直线，且⊥，⊥，则，所成的角为两条直线所成的角个向量才可以构成基底......”。

9、以下这些语句存在多方面瑕疵，具体表现在：语法结构错误频现，标点符号运用失当，句子表达欠流畅，以及信息阐述不够周全，影响了整体的可读性和准确性——“.....⊥面，⊥，与面成角，则间的距离为解析答案已知空间三点在直线上有点满足⊥，则点的坐标为解析由，且点在直线上，可设，则又⊥即即，解得，答案已知二面角的大小为为异面直线，且⊥，⊥，则，所成的角为解析二面角的大小为为异面直线，且⊥，⊥，则，所成的角为两条直线所成的角故选答案如右图，正三棱柱的各棱长都为分别是，的中点，则的长是解析如图所示取的中点，连则易得则，故选答案二填空题在中，⊥平面则到的距离是解析如图所示以边上的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则的长即为所求，由，则答案已知且与的夹角为钝角，则的取值范围是解析因为与的夹角为钝角，于是因此，且与的夹角不为，即，解得，，答案，，已知，且两两垂直，则解析由题意知，解得答案已知，，且⊥，则实数等于解析因为，所以......”。