1、“.....以作为学位实例。由于硅是不同的正整数，也有规模不小于套平衡。因此，由引理，第十现在表的是平衡的，我我们必须表明，有对边缘对和非负权重，我们树，使得对于每个节点€时，对事件边的权重之和等于的其中双回路数。我们使用表感应。如果或是空的，结果是微不足道的，因为我们必须为每个€光那假设和都是非空的。选择任何个和€€阿和不失般性假设大分贝。减少大的分何个和€€阿和不失般性假设大分贝。减少大的分贝。果或是空的，结果是微不足道的，因为我们必须为每个€光那假设和都是非空的。我们使用表感应。如部分内容简介完成该引理的证明。考虑平衡集......”。

2、“.....我们必须表明，有对边缘对和非负权重，我们树，使得对于每个节点€时，对事件边的权重之和等于的其中双回路数。我们使用表感应。如果或是空的，结果是微不足道的，因为我们必须为每个€光那假设和都是非空的。选择任何个和€€阿和不失般性假设大分贝。减少大的分贝。现在表的是平衡的，我们可以感应工业适当的加权树。然后加入与体重分贝边缘抗体。最后，考虑个集这是不均衡的，但就是这样，相应的要求和是偶数。如上所述，我们可以随时更换了使用成本的个边缘的两个要求。因此，我们能满足所有，但用边缘形成个对树需求，然后添加个循环结束的组成部分......”。

3、“.....我们证明定理，这个问题最小化模式是强难问题。总结三或舒尔三是三，这样的两个之和等于第三个不同的整数集合。下面的问题可以得到更充分的描述，总结成独特的整数分区的三倍作为。总结三元输入不同的正整数。问能否输入三元分割成总结这个问题类似于数值匹配与目标款项，加里和，第，但额外的令人惊讶的麻烦，条件是涉及的人数必须是不同的。引理问题总结三元是强完全的。本节的大部分将用于证明上述引理，但首先，让我们看到，它会产生定理。证明定理假设引理我们给个总结，学位三倍，多项式时间减少。考虑个总结三元上述实例。以作为学位实例。由于硅是不同的正整数......”。

4、“.....因此，由引理，第十章与为当且仅如果可分为总结三倍现在考虑的问题总结三倍，这显然是在。我们将证明它是强通过给从完全问题限制减少完成，下述，总结每个三元组在的。限制输入组第三季度的元素和个三元组集合在十，这样每个的元素完全相同三元载。问可以划分为三元是在引理限制问题是完全的。证明据了解，这个问题是完全问题，如果每个元素被限制在最多三倍，而不是正好见加里和，第。这是很容易对注册整洁的实例使每个元素恰好是的三倍。很明显，我们能坚持，每个元素在或的三倍。我们可以在分区中的元素正好两个三元组分为三个区块的大小。对于每个块，添加新的元素三个及，......”。

5、“.....的。显然，每个的元素是完全相同三三元在和可以被划分在到三倍，如果有仅当可以被划分为三元在。引理考虑个实例，的限制，其中。季度全令。我们将建设个扩大在的收集，包含三元使得可分为三元在分区，当且仅当可划分为中三元，接着我们将构造个实例秒的你们的总结三倍，其中每个尺寸的异这样的总结恰恰三倍对应的三元组在形成个二分图的顶点部及和顶点窄隙室和的相邻即边发射的正是由于当Ğ吨中的每个顶点度是三，我们可以在多项式时间内找到个合适的边染色。现在，我们每个元素的分割成三份，和，。鉴于特里普尔气相色谱，令是三重观察，在三的分子具有不同的第坐标......”。

6、“.....而分区集。接着，每个光霞，让的是集合组成的四个三元，和，。设是由碳的收集与所有的Ğ十，因此包含在集合在起的三元的三倍。如果些子集合的是的分区，然后对每个的时候，恰恰的要素之，不包括由三元组在东经外汇，因此必须由在东经企业所得税三倍以下方便，这包括可以被划分在到三倍，当且仅当划分可分为三元在这样就完成了施工红外警戒的部分。下步，我们将看到如何分配尺寸对每个元素戈瑞以便在元素的总结三元正是在的三元组，我们将使用个界定差不多的明智的随机变量的家庭小样本空间。设，令，令，让。有的个子集大小的如果个点的合作，是随机挑选的统......”。

7、“.....见。今后这类套可以明确在多项式时间建成北界。给定个点合作宾馆，对每个个，让是非负，二进制扩展•••。当个点的采收有限公司。从随机均匀，然后，是随机变量，以价值观在，个，其中，它们具有以下属性。对于任何集成电路与与，和任何集合，我们Ğ现在，我们可以定义元素的大小为我们总结三元原审年。为清楚起见，我们将写的而不是秒有。然后的和特里普尔，矛盾。二现在假设。然后。现在有个，的有个和有，。同样的三重性，个矛盾。现在我们已经表明，的，同样。因此，这两个和在，。因此和的，或。首先假设，所以。然后两个和的有非零统筹和有。但接下来和的必须具有相同的支持......”。

8、“.....这是不可能的。不失般性，我们现在可以假设和。然后，和的有非零协调，有，和有，。然后，我们再次工业和的必须具有相同的支持，等的。但现在，三是在，对矛盾。寻找平衡的子集这是个完全测试，如果个家庭中格可持续的竞争整数的机有个平衡的个子集，但我们仍然可能希望为亚群平衡的格局中搜索到最小些启发式方法。在本节中，我们看到，个简单的基于动态规划的方法就能解决的伪多项式时间等问题。红外警戒看到我们如何测试，如果有个平衡的个子集，如果这样工业之另外两个最小相应的总和在的步骤。之后，我们将看到如何找到个平衡的最小的子集，在的步骤。这不是明显的......”。

9、“.....让。对于每个，的，而且每个设集，为。如果有个相应和子集，让集，的平等，否则。则，的每个为且集，每次的的。我们可以计算所有的值集，在反过来，在每个值的步骤，如下所示。为对于，。如果，我们解释集，如果在上述复发，这是从来没有的情况是，在右边两个术语是，那么就没有平衡的个子集。但假设这种情况确实存在，而且我们第次见面是在和。那么有两种不同的亚群的相应和和和个不包含。此外和必须是不相交的，由的极小。很明显，我们可以发现这样集合和很快，他们的联盟是需要平衡的设置。现在假设我们希望工业个最小的平衡，如果有子......”。