1、“.....为常函数，则为凸函数。性质若，是凸函数，则仍是凸函数。性质若是长增的凸函数，也是凸函数，则复合函数也是凸函数。以上三条性质的证明可有定义直接导出，本文从略。性质若是定义在区间上的凸函数则在区间上连续。证明设，，取，，设，当时可分两种情况进行讨论，，，以及，，。有以及由引理有，与整理得充分性在上任取两点，，在，上任取点，，......”。

2、“.....证明必要性记，则，由的凸性知道牡丹江师范学院学士学位论文设计综上，即得引理故，从而有得弦所在的直线方程为或即，则称为上的凸函数。定义的推导过程ⅰ在此引入参量表示设，则得出ⅱ根据图像分析弦上的点弧上的点型的不等式用凸函数的性质比较好证明。牡丹江师范学院学士学位论文设计凸函数的概念凸函数的定义设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点，和任意实数，总有究将有助于我们进步研究函数的凸性，因此要不断推进其研究工作......”。

3、“.....然后利用相关性质证明些不等式，而这些不等式的证明往往是以构造凸函数为突破，以此研究什么类等领域也有着广泛的应用，现在学者对凸函数的研究工作主要有中间凸函数情形下函数成为凸函数的条件，利用半严格凸和中间凸性给出凸函数的个判别准则，实值函数成为凸函数的些条件等，对凸函数在不等式的应用研到了广泛的应用。例如在数学分析，函数论，泛函分析，最优化理论当中。本选题对凸函数的定义性质作出较为详尽的介绍，并利用这些性质证明些初等不等式，函数不等式和积分不等式。凸函数在最优化理论数理经济学牡丹江师范学院学士学位论文设计与凸函数有关的几个有趣结论绪论凸函数是种性质特殊的函数，自世纪初建立凸函数理论以来......”。

4、“.....自世纪初建立凸函数理论以来，凸函数这概念已在许多数学分支得到了广泛的应用。例如在数学分析，函数论，泛函分析，最优化理论当中。本选题对凸函数的定义性质作出较为详尽的介绍，并利用这些性质证明些初等不等式，函数不等式和积分不等式。凸函数在最优化理论数理经济学等领域也有着广泛的应用，现在学者对凸函数的研究工作主要有中间凸函数情形下函数成为凸函数的条件，利用半严格凸和中间凸性给出凸函数的个判别准则，实值函数成为凸函数的些条件等，对凸函数在不等式的应用研究将有助于我们进步研究函数的凸性，因此要不断推进其研究工作。本选题先对凸函数的定义性质作出较为详尽的介绍，然后利用相关性质证明些不等式，而这些不等式的证明往往是以构造凸函数为突破，以此研究什么类型的不等式用凸函数的性质比较好证明。牡丹江师范学院学士学位论文设计凸函数的概念凸函数的定义设为定义在区间上的函数......”。

5、“.....和任意实数，总有，则称为上的凸函数。定义的推导过程ⅰ在此引入参量表示设，则得出ⅱ根据图像分析弦上的点弧上的点故，从而有得弦所在的直线方程为或即牡丹江师范学院学士学位论文设计综上，即得引理为上的凸函数的充要条件是对于上任意三点，证明必要性记，则......”。

6、“.....，在，上任取点，，，即。由必要性的推导逆过程，可证得，故为上凸函数。同理可证，为上凸函数的充要条件是对于上任意三点，牡丹江师范学院学士学位论文设计有牡丹江师范学院学士学位论文设计凸函数的性质及其相关结论性质设为凸函数，为常函数，则为凸函数。性质若，是凸函数，则仍是凸函数。性质若是长增的凸函数，也是凸函数，则复合函数也是凸函数。以上三条性质的证明可有定义直接导出，本文从略。性质若是定义在区间上的凸函数则在区间上连续。证明设，，取，，设，当时可分两种情况进行讨论，，，以及，，。有以及由引理有......”。

7、“.....上连续，且为，上的严格凸函数，有取，，，取牡丹江师范学院学士学位论文设计即即当的时候......”。

8、“.....设为区间，上的可导函数，则下属论断互相等价为区间，上的凸函数为区间，上的增函数函数的图像总不位于它任条切线的下方，即任意，对切，有。证明请参照文献。推论设是，上的可微函数，则在，上是严格凸函数的充要条件是下面两条件之成立导函数在区间，上严格递增函数的图像总位于它任条切线的上方，即任意，对切，，且，有。牡丹江师范学院学士学位论文设计文献给出了应用起来更方便的定理。牡丹江师范学院学士学位论文设计参考文献华东师范大学数学系数学分析上册第三版北京高等教育出版社，年李建国凸函数益阳师专学报，年，第期牡丹江师范学院学士学位论文设计致谢四年的读书生活在这个季节即将划上个圆满的句号，而我的人生却并未从此停滞，我即将踏上又旅新的征程。四年的求学生涯在师长亲友的大力支持下......”。

9、“.....在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。伟人名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给位平凡的人，我的导师张国铭老师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，从论文题目的选定到论文写作的指导，经由您悉心的点拨，再经思考后的领悟，常常让我有山重水复疑无路，柳暗花明又村的感悟。其次感谢我的家人，焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿。同时也感谢理学院为我提供良好的做毕业设计的环境。在论文即将完成之际，我的心情再次泛起波澜，有多少可敬的师长同学朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚谢意......”。