1、“.....不成立综上可知实数的取值范围是名师点评解答诸如含有集合包含关系的题目时，定要警惕“∅”这陷阱，考虑不周而漏掉对空集的讨论，往往造成不应有的失分，初学者要切记在方程或不等式中，当次项或二次项系数含参数时，在参数取值范围不确定的情况下要注意分类讨论人教版必修第章集合与函数概念集合集合间的基本关系问题提出什么是子集真子集如何用符号和图表示集合的关系如何用子集的概念描述集合的相等关系空集是什么样的集合它与其他集合有什么关系课前自主学习基础自学子集的概念文字语言符号语言图形语言对于两个集合如果集合中元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有关系，称集合为集合的子集对任意元素，必有，则，读作或集合相等文字语言符号语言图形语言如果集合是集合的，且集合是集合的，那么称集合与集合是相等的若⊆且，则任意个包含⊆或⊇包含于包含子集子集⊆真子集的概念文字语言符号语言图形语言如果集合是集合的，且在集合中个元素不是集合的元素，我们称集合是集合的真子集若集合，但，且，则∅时，有，解得......”。

2、“.....其他条件不变，求实数的取值范围解⊆，求实数的取值范围题目中的集合∅当在数轴上画出两集合关系时要注意什么提示可以等于空集∅时画在数轴上需注意端点处是实点还是空点解⊆，当∅时解得当的子集若既有⊆，又有⊆含了空集本身，空集是任何非空集合的真子集当给出⊆时，要注意∅时的情况典例示法例已知集合且⊆集合间关系的判断用定义判断首先，判断个集合中的任意元素是否属于另集合，若是，则⊆，否则不是的子集其次，判断另个集合中的任意元素是否属于第个集合，若是，则⊆，否则不是相等的三角形，故集合，用数轴表示集合，如下图所示，由图可知当取整数时，„，„，„，„，故两到之间的数，中代表元素是小于的数题目中是奇数，中也是奇数解集合的代表元素是数，集合的代表元素是实数对，故与之间无包含关系等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边题目中集合中的代表元素是否相同题目中两个集合代表元素的特征是什么提示题目中是数集，是点集题目中是等边三角形......”。

3、“.....是等腰三角形，合的真子集就不存在的可能提示⊆表示的是两个集合之间的关系表示的是元素与集合之间的关系典例示法例指出下列各对集合之间的关系然后再进行判断思考集合是集体的真子集与集合是集合的子集之间有什么区别思考包含关系⊆与属于关系的意义有什么区别提示区别在于集合是集合的子集存在着的可能，但集合是集义入手，对两个集合进行分析，确定集合是用列举法还是描述法表示的对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统，要先将表达式统当集合含有个元素时，可为故满足条件的集合为,知识点二集合间关系的判断核心解读从集合关系的定故可以按集合所含元素的个数分类写出集合当集合含有个元素时，可为当集合含有个元素时，可为当集合含有个元素时，可为那么它的子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为跟踪训练已知集合满足,⊆⊆，求所有满足条件的集合解由题意可知，集合至少且必须含有元素至多含有元素,书写子集真子集的规律写有限集合的所有子集......”。

4、“.....含两个元素的子集„„依次写出，以免重复或遗漏若集合含个元素有子集为∅在上述子集中，除去集合本身，即，剩下的都是的真子集，是的真子集，又，集合为∅，重复和遗漏可以等于空集，不可以等于解由个元素构成的子集∅由个元素构成的子集由个元素构成的子集由个元素构成的子集由此得集合的所有重复和遗漏可以等于空集，不可以等于解由个元素构成的子集∅由个元素构成的子集由个元素构成的子集由个元素构成的子集由此得集合的所有子集为∅在上述子集中，除去集合本身，即，剩下的都是的真子集，是的真子集，又，集合为∅,书写子集真子集的规律写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集∅和自身其次按含个元素的子集，含两个元素的子集„„依次写出，以免重复或遗漏若集合含个元素，那么它的子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为跟踪训练已知集合满足,⊆⊆，求所有满足条件的集合解由题意可知，集合至少且必须含有元素至多含有元素......”。

5、“.....可为当集合含有个元素时，可为当集合含有个元素时，可为当集合含有个元素时，可为故满足条件的集合为,知识点二集合间关系的判断核心解读从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，确定集合是用列举法还是描述法表示的对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统，要先将表达式统，然后再进行判断思考集合是集体的真子集与集合是集合的子集之间有什么区别思考包含关系⊆与属于关系的意义有什么区别提示区别在于集合是集合的子集存在着的可能，但集合是集合的真子集就不存在的可能提示⊆表示的是两个集合之间的关系表示的是元素与集合之间的关系典例示法例指出下列各对集合之间的关系是等边三角形，是等腰三角形，题目中集合中的代表元素是否相同题目中两个集合代表元素的特征是什么提示题目中是数集，是点集题目中是等边三角形，中是等腰三角形题目中代表元素是到之间的数，中代表元素是小于的数题目中是奇数，中也是奇数解集合的代表元素是数......”。

6、“.....故与之间无包含关系等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故集合，用数轴表示集合，如下图所示，由图可知当取整数时，„，„，„，„，故两集合间关系的判断用定义判断首先，判断个集合中的任意元素是否属于另集合，若是，则⊆，否则不是的子集其次，判断另个集合中的任意元素是否属于第个集合，若是，则⊆，否则不是的子集若既有⊆，又有⊆含了空集本身，空集是任何非空集合的真子集当给出⊆时，要注意∅时的情况典例示法例已知集合且⊆求实数的取值范围题目中的集合∅当在数轴上画出两集合关系时要注意什么提示可以等于空集∅时画在数轴上需注意端点处是实点还是空点解⊆，当∅时解得当∅时，有，解得，综上得互动探究若本例中改为，其他条件不变，求实数的取值范围解⊆，当∅时解得当∅时，有，解得综上得分类讨论在集合中的重要性分析集合关系时，首先要分析简化每个集合此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值......”。

7、“.....般含用实心点表示，不含用空心点表示此类问题还应注意“空集”这“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为是非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的跟踪训练已知集合或若⊆，求实数的取值范围解当∅时，只需，即当∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或，解得或综上可得，实数的取值范围为或规律小结子集和真子集⊆包含两种情况和当是的子集时，不要漏掉的情况在真子集的定义中，首先要满足⊆，其次至少有个，但∉集合与集合之间的关系有包含关系相等关系，其中包含关系有包含于⊆包含⊇，真包含于真包含等，用这些符号时要注意方向空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集若利用“⊆”或“”解题，要讨论∅和∅两种情况涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用走出误区易错点⊳因忽视空集而出错典例已知若⊆，求实数的取值范围错解档案当时，有，当时，有，不成立当,时，有，不成立所以，误区警示空集是个特殊的集合，是任何集合的子集......”。

8、“.....错解中没有考虑集合为∅的情况规范解答又⊆，∅，或，或，或,当∅时，方程的判别式当时，有，当时，有，不成立当,时，有，不成立综上可知实数的取值范围是名师点评解答诸如含有集合包含关系的题目时，定要警惕“∅”这陷阱，考虑不周而漏掉对空集的讨论，往往造成不应有的失分，初学者要切记在方程或不等式中，当次项或二次项系数含参数时，在参数取值范围不确定的情况下要注意分类讨论人教版必修第章集合与函数概念集合集合间的基本关系问题提出什么是子集真子集如何用符号和图表示集合的关系如何用子集的概念描述集合的相等关系空集是什么样的集合它与其他集合有什么关系课前自主学习基础自学子集的概念文字语言符号语言图形语言对于两个集合如果集合中元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有关系，称集合为集合的子集对任意元素，必有，则，读作或集合相等文字语言符号语言图形语言如果集合是集合的，且集合是集合的，那么称集合与集合是相等的若⊆且......”。

9、“.....且在集合中个元素不是集合的元素，我们称集合是集合的真子集若集合，但，且，则或读作“真包含于”或“真包含”空集定义的集合，叫做空集符号表示规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集集合的性质任何个集合都是它本身的子集，即⊆对于集合，若⊆，⊆，则若，，则子集至少存在⊆存在∉不含任何元素∅⊆自我小测判判正确的打，错误的打“”集合是空集正整数集是自然数集的子集空集是任何集合的真子集做做请把正确的答案写在横线上集合,的子集有集合，与集合的关系是已知集合，，用适当符号填空,∅相等课堂合作探究知识点有限集合的子集真子集的确定核心解读集合是集合的子集的含义是集合中的任何个元素都是集合中的元素，即由能推出例如,⊆，则如果集合中存在着不是集合的元素，那么集合不包含于或不包含此时记作 ⃘或⊉注意符号“”与“⊆”的区别“⊆”只用于集合与集合之间，如⊆而不能写成，“”只能用于元素与集合之间如......”。